Какво е множество от стойности на функция?

Да преговорим набързо, зададена е функция, нека я наречем "f" – не е необходимо да я наричаме "f", но това е буквата, най-често използвана за функции – и ако задам валиден аргумент, ако въведа някаква валидна входяща стойност и използвам променливата "х" за този валиден аргумент, функцията ще превърне това в някаква стойност. Тя ще превърне това или ще произведе стойност, която ще наречем "f(x)". Ние вече говорихме за понятието дефиниционно множество. Дефиниционно множество е съвкупността от всички аргументи, за които функцията е определена. Ако това тук е дефиниционното множество, и аз взема някаква стойност от тук и я въведа за х, тогава функцията ще ни даде изходяща стойност f(x). Ако взема нещо, което е извън дефиниционното множество... нека го направя с различен цвят... Ако взема нещо, което се намира извън дефиниционното множество, и го въведа в тази функция, функцията ще каже: "Чакай, чакай, аз не съм определена за това нещо!" "Това е е извън дефиниционното множество." Сега да видим друго интересно множество, върху което е фокусирано това видео. Знаем какво е множеството от всички валидни аргументи, то се нарича дефиниционно множество. Но как ще опишем множеството от всички стойности, които функцията може да произведе? Имаме наименование и за него. То се нарича множество от стойности на функцията. Множество от стойности на функцията. Има няколко определения за това, но най-типичното определение е: "множеството от всички допустими стойности на функцията". Така че ако въведеш стойност от дефиниционното множество във функцията, тя ще даде някаква стойност и по дефиниция, тъй като сме го получили от тази функция, тя принадлежи на множеството от стойности на функцията. И ако вземем всички резултати, които функцията може да даде като стойност, това е множеството от стойностите ѝ. Така че това тук е множеството от всички допустими стойности на функцията. Нека го направим малко по-конкретно с един пример. Имам функцията f(x), т.е. ще въвеждам аргумента х, имам функция f и ще получа стойност f(x). Това, което се опитваме да намерим, е "като е дадено х, какво f(x) ще получим?". Съгласно определението "f(x) ще бъде равно на аргумента, повдигнат на квадрат". Един бърз преговор, знаем какво е дефиниционното множество. Дефиниционното множество е съвкупността от всички валидни аргументи. А какви са валидните стойности на функцията? Ако взема произволно реално число и го въведа във функцията, и го повдигна на квадрат – тук няма нищо погрешно. И по този начин дефиниционното множество са всички реални числа. Но какво е множеството от стойностите на функцията? Ще го напиша с различен цвят, за да го подчертая. Каква е съвкупността от всички допустими стойности на функцията? Ако помислиш върху това,.. всъщност, за да си помогнем, нека начертая тук една графика. Как ще изглежда това? Графиката на f(x) е равно на x на квадрат ще прилича на нещо такова. Тя ще изглежда по следния начин. Очевидно е, че го чертая на ръка и не е перфектно. Това ще бъде парабола с връх точно тук в началото на координатната система. Това е графиката на функцията "y е равно на f(x)". Това разбира се е оста х, това разбира се е оста у. Нека помислим кои са всички допустими стойности на функцията? В този случай всички допустими стойности са всички допустими ето тук. Виждаме, че у може да бъде всяка неотрицателна стойност. у може да бъде нула, у може да бъде едно, у може да бъде пи, у може да бъде е, но у не може да бъде отрицателно. Така че множеството от стойностите на функцията е... Можем да го кажем по няколко начина, нека го напиша по този начин: "f(x) принадлежи към реалните числа, за които f(x) е по-голямо от или равно на нула." Ако искаме да използваме по-малко математически означения, можем да кажем, че "f(x) ще бъде по-голямо от или равно на нула." f(x) няма да бъде отрицателно, така че всяко неотрицателно число, множеството от всички неотрицателни числа е нашето множество от стойности на функцията. Нека направим още един пример от тези, за да стане още по-ясно. Нека е зададена g(x), ще го напиша с бяло, g(x) е равно на x на квадрат върху х. Можем да опростим малко g(x). Ако х на квадрат го разделя на х, получавам g(x) равно на х. "х на квадрат върху х" е х, но трябва да внимаваме. В дефиниционното множество х не може да бъде равно на нула. Ако х е равно на нула, получаваме нула върху нула, получаваме неопределена форма. Така че, за да бъде тази функция точно същата функция, трябва да сложим това, защото вече не е очевидно от определението, трябва да посочим, че х не може да бъде равно на нула. И така, g(x) е равно на х за всяко х, стига х да не е равно на нула. Тези две определения за функция са еквивалентни. И дори можем да я начертаем. Ще изглежда така, ще направя един бърз и груб чертеж на тази графика. Тя ще изглежда по следния начин. Тя ще има наклон от едно, но ще има дупка точно при нула, защото не е определена в нула. Дефиниционното множество на g е "х принадлежи на множеството от реални числа, за които х не е равно на нула". А множеството от стойностите ще бъде същото: "f(x) принадлежи на множеството от реални числа, за които f(x) не е равно на нула." Така че дефиниционното множество са всички реални числа, с изключение на нула, а множеството от стойности е всички реални числа, с изключение на нула. Голямото предизвикателство тук е, че под множество от стойности на функцията имаме предвид множеството от всички допустими стойности на функцията. Дефиниционното множество е съвкупността от всички валидни аргументи за дадената функция.