Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 20

Урок 3: Елементарни действия с редовете на матрица

Действия с редове на матрици

Научи как да извършваш основните действия с редовете на матрици. Тези действия ни позволяват да решаваме сложни системи от линейни уравнения сравнително бързо и лесно!

Действия с редове на матрици

Следващата таблица обобщава трите основни операции с редове на матрици.

Действия с редове на матрици	Пример
Смяна на всеки два реда	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rr} 3 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}] \\ (Разменяме ред 1 и ред 2.) \end{aligned}$ ‍
Умножаване на ред по константа, различна от нула	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \\ (Ред 1 става 3 пъти себе си.) \end{aligned}$ ‍
Събиране на един ред с друг	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 2 & 5 & 3 \\ 3 + 2 & 4 + 5 & 6 + 3 \end{array}] \\ (Ред 2 става сумата от редовете 2 и 1.) \end{aligned}$ ‍

Действията с редове на матрици могат да се използват за решаване на системи от уравнения, но преди да разберем защо, нека упражним тези умения.

Смяна на всеки два реда

Пример

Извърши действието с редове

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

Решение

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

означава да разменим ред

1

и ред

2

Следователното матрицата

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

става

[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

Понякога ще видиш следното означение да се използва за обозначаване на тази смяна.

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}] \overset{R_{1} \leftrightarrow R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

Забележи как ред

1

сменя ред

2

и ред

2

сменя ред

1

. Третият ред не се променя.

Задача 1

Извърши действието с редове $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array}]

Задача 2

Извърши действието с редове $R_{3} \leftrightarrow R_{1}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} 2 & 11 & - 5 \\ 7 & 2 & 18 \\ 0 & - 4 & 10 \end{array}]

Умножаване на ред по константа, различна от нула

Пример

Извърши действието

3 R_{2} \to R_{2}

в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

Решение

3 R_{2} \to R_{2}

означава да сменим

2 -ия

ред с

3

пъти него си.

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

става

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

Това действие с редове на матрици често се обозначава така:

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] \overset{3 R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

Забележи, че тук три пъти вторият ред сменя втория ред. Останалите редове остават същите.

Задача 3

Извърши действието $2 R_{1} \to R_{1}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array}]

Задача 4

Извърши действието $- 5 R_{3} \to R_{3}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{rr} - 2 & 1 \\ 7 & 4 \\ - 3 & 6 \end{array}]

Прибавяне на един ред към друг

Пример

Извърши действието

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

Решение

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

означава да сменим

2 -рия

ред със сбора на

1 -ви

2 -ри

ред.

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

става

[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 + 0 & 3 + 8 & 4 + 1 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

Това действие с редове на матрици често обозначаваме така:

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}] \overset{R_{1} + R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

Забележи как сборът на ред

1

2

сменя ред

2

. Другият ред остава непроменен.

Задача 5

Извърши действието $R_{1} + R_{3} \to R_{3}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} - 1 & 6 & - 2 \\ - 3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array}]

Задача 6

Извърши действието $R_{2} + R_{3} \to R_{2}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} - 4 & 12 & 9 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 10 \end{array}]

Задача с повишена трудност

Извърши действието $R_{1} + 2 R_{3} \to R_{1}$ ‍ в следващата матрица.

[\begin{array}{rrr} - 5 & 7 & 3 \\ - 2 & - 1 & 4 \\ 8 & 8 & - 6 \end{array}]

Системи от уравнения и действия с редове на матрици

Припомни си, че в една разширена матрица един ред представя едно уравнение от системата, а всеки стълб (колона) представя една променлива или константните членове.

Например системата отляво съответства на разширената матрица отдясно.

Система	Матрица
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

Когато използваме разширени матрици, ние можем да извършим всяко от действията с редове на матрици, за да създадем нова разширена матрица, която дава еквивалентна система от уравнения. Нека разберем защо.

Смяна на всеки два реда

Еквивалентни системи	Разширена матрица
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} 2 x + 5 y & = 6 \\ 1 x + 3 y & = 5 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{array}]$ ‍

Двете системи в горната таблица са еквивалентни, защото редът на уравненията не е от значение. Това означава, че когато използваме разширена матрица за решаване на система, можем да разменим всеки два реда.

Умножаване на ред с константа, различна от нула

Можем да умножим двете страни на уравнението по една и съща константа, различна от нула, и ще получим еквивалентно уравнение.

Когато решаваме системи от уравнения, често правим това, за да премахнем променлива. Поради това, че двете уравнения са еквивалентни, виждаме, че двете системи също са еквивалентни.

Еквивалентни системи	Разширена матрица
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

Това означава, че когато използваме разширена матрица за решаване на система, можем да умножим ред по константа, различна от нула.

Събиране на един ред с друг

Знаем, че ако добавим едно и също към двете страни на едно уравнение, ще получим еквивалентно уравнение.

Следователно, ако

A = B

C = D

, тогава

A + C = B + D

Често правим това, когато решаваме системи от уравнения. Например в тази система

\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}

можем да съберем уравненията, за да получим

- y = - 4

Групирайки това нова уравнение с едно от първоначалните уравнения, получаваме еквивалентна система от уравнения.

Когато съберем уравненията от първоначалната система, получаваме

- y = - 4

или

y = 4

. Но другите уравнения не изчезват от системата; използваме ги, за да намерим

x

Избирайки едното, ще получим еквивалентна система. В следващата таблица запазихме най-горното уравнение.

Еквивалентни системи	Разширена матрица
$\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 0 x + (- 1) y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 0 & - 1 & - 4 \end{array}]$ ‍

Следователно когато използваме разширена матрица за решаване на система, можем да събираме един ред с друг.

Заключителна задача

Поредица от действия с редове се извършва върху матрицата

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

. Таблицата по-долу описва резултата от всяка стъпка.

Подреди действията с редове според всяка стъпка.

Първоначална матрица:

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

1

Забележи, че първоначалната матрица съответства на

\begin{aligned} 2 x + 2 y & = 10 \\ - 2 x - 3 y & = 3 \end{aligned}

, а крайната матрица съответства на

\begin{aligned} x & = 18 \\ y & = - 13 \end{aligned}

, което просто дава решението.

Системата беше решена изцяло с използването на разширени матрици и действия с редове!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.