Въведение в средна скорост на изменение

Имаме различни определения за d(t) вляво и вдясно и, да кажем, че d е разстоянието, а t е времето, така че това ни дава разстоянието като функция на времето. Вляво е равно на 3t + 1. Можеш да видиш на графиката как разстоянието се променя като функция на времето. Тук е права – и, като преговор от алгебрата, скоростта на изменение на една права наричаме ъглов коефициент (наклон) на правата и можем да намерим каква е промяната в разстоянието за всяка промяна във времето. В тази ситуация, ако преминаваме от "времето е равно на 1" до "времето е равно на 2", промяната във времето, делта t, е равно на 1. Каква е промяната в разстоянието? Преминаваме от разстояние равно на 4 метра при време равно на 1 до разстояние от 7 метра при време равно на 2 и промяната в разстоянието е равнa на 3. И, ако искаме да поставим мерните единици, това са три метра за една секунда време и ъгловият ни коефициент ще е промяната по вертикалата, делено на промяната по хоризонталата, което ще е промяна на d, делта d върху делта t, което е равно на 3/1, или просто можем да запишем това като 3 метра в секунда. И може да разпознаеш това като скорост, ако разглеждаш резултата от промяната на разстоянието върху промяната на времето, това отношение горе вдясно е твоята скорост. Всичко това е преговор на нещата от преди и интересното при правата, или ако говорим за линейна функция, е, че скоростта не се променя в никоя точка, ъгловият коефициент на тази права между всеки две точки винаги ще е 3. Но интересното при функцията вдясно е, че това не е вярно, скоростта ни постоянно се променя и ще проучим това в повече детайли, когато стигнем до диференциалното смятане. Това видео полага някои основи за това, което ще учим в диференциалното смятане. Едно нещо да оценим тук е да помислим за моментната скорост на промяна някъде, да кажем, ето тук. Ако помислиш за ъгловия коефициент на една права, който една докосва тази графика, той може да изглежда ето така, ъгловият коефициент на една допирателна права и после ето тук изглежда е малко по-стръмен. Изглежда скоростта на промяна се увеличава, докато t нараства. Както споменах, натрупваме знания, за да можем по-късно да говорим за моментната скорост на промяна, но можем да започнем да мислим за средната скорост на промяна. И начинът, по който разглеждаме средната скорост на промяна, е да използваме същите знания, които първо научихме в алгебрата, мислим за ъглови коефициенти на секущи прави. Какво е секуща права? По геометрия говорим за това, че една секуща права е нещо, което пресича една крива в две точки. Да кажем, че тук има една права, която пресича при t = 0 и t = 1 и нека начертая тази права в оранжево. Това ето тук е секущата ни. И можеш да гледаш на ъгловия коефициент на секущата права като средната скорост на промяна от t = 0 до t = 1. Каква е средната скорост на промяна? Ъгловият коефициент на секущата ни ще е промяната в разстоянието, разделена на промяната във времето, което ще е равно на... промяната във времето е една секунда, ще поставя мерните единици тук... и каква е промяната в разстоянието? При t = 0 или d(0) е 1 и d(1) е 2, така че разстоянието ни се е увеличило с един метър. Така че сме изминали един метър в секунда или можем да кажем, че средната скорост на изменение в тази първа секунда от t(0) до t(1) е един метър в секунда. Но нека помислим колко е, ако преминаваме от t = 2 до t = 3. Отново можем да погледнем тази секуща права и да намерим ъгловия коефициент, който можем да използваме за средната скорост на промяна от t = 2 до t = 3. Както вече споменах, скоростта на промяна изглежда постоянно се променя, но можем да помислим за средната скорост на промяна и това ще е промяната в разстоянието върху промяната във времето, което ще е равно на – когато t = 2, разстоянието ни е равно на 5, 1, 2, 3, 4, 5, това тук е 5. И когато t = 3, разстоянието ни е равно на 10, 6, 7, 8, 9, 10, това тук е 10. Промяната във времето – това е доста лесно, преминали сме напред с една секунда, така че това е една секунда, а промяната в разстоянието – преминали сме от 5 до 10 метра – то е 5 метра, така че това е равно на 5 метра в секунда и това пояснява, че средната скорост на промяна се е променила от t = 0 до t = 1 и от t = 2 до t = 3, средната скорост на промяна е по-висока в този втори интервал, отколкото в първия интервал, и както можеш да си представиш, много е интересно да помислим какво ще стане, ако разгледаме ъгловите коефициенти на секущи прави на все по-близки и близки точки? Тогава ще се приближиш все повече и повече до приблизителното изчисление на ъгловия коефициент на допирателната права и точно това ще правим, когато стигнем до математическия анализ.