Доказателство: сбор на рационално и ирационално е ирационално число

Любопитен съм какво се случва, ако имаме някакво рационално число и трябва да го съберем с ирационално число. Полученото число рационално или ирационално ще бъде? Да помислим върху това. Нека приемем, че това ще ни даде рационално число и да видим дали това води до някакво противоречие. Нека приемем, че това ще ни даде рационално число. Да кажем, че първото рационално число може да бъде представено като отношение на две цели числа а и b. Нека наречем ирационалното число просто х. А техният сбор ни дава друго рационално число. Добре, нека изразим това като отношение на две други цели числа m и n. Приемаме, че а/b + х = m/n. Друг начин да го разглеждаме е например да извадим a/b от двете страни. Ще получим, че ирационалното число х е равно на m/n минус a/b, което е същото нещо като n по b в знаменателя. И сега да видим. m/n е същото като mb върху nb. Това ще бъде mb. Просто събирам тези две дроби. mb минус... Да видим, a/b е същото като n по a върху n по b. И така, минус n по a. Всичко, което направих, е да събера тези две дроби. Намерих общ знаменател. За да поясня, умножих това по b и b, и след това умножих това по n и n. После просто събрах тези две неща и получих този израз ето тук. Този знаменател очевидно е цяло число. Имам произведение от две цели числа. Това ще бъде цяло число. И след това числителят mb – той също е цяло число. na е цяло число. Това е разлика от две цели числа. Това цялото нещо ще бъде цяло число. Изглежда, че като приемем че сборът е рационално число, изведнъж получаваме това противоречие. Приехме, че х е ирационално число. Но след това изведнъж на база нашето предположение получихме, че можем да го изразим като това отношение от две цели числа. Това ни показва, че х трябва да бъде рационално число. А това е опровержение на нашето допускане. Това там е много голямо противоречие. Предположението беше, че х е ирационално число. Сега получаваме, че х трябва да бъде рационално. Следователно това не може да бъде така. Рационално плюс ирационално трябва... Това не е вярно. Рационално плюс ирационално трябва да бъде ирационално число. Нека го запиша. Рационално плюс ирационално трябва да бъде ирационално число.