Тълкуване на квадратни функции: параболичен вид

В условието е дадено, че Тейлър отворила ресторант. Нетната стойност на ресторанта в хиляди долари t месеца след отварянето му е моделирана с функцията v от t, равно на 2 по t на квадрат, минус 20 по t. Тейлър иска да разбере каква би била най-ниската нетна стойност на ресторанта – подчертавам това – и кога ще бъде достигната. Да разделим задачата на отделни стъпки. Функцията, която описва как стойността на ресторанта, нетната стойност на ресторанта, се променя в течение на времето е ето тази. (показва на екрана) Ако построим графиката ѝ, понеже виждаме, че коефициентът на члена от втора степен е положителен, то графиката ще е парабола, която се отваря нагоре. Не знаем как ще изглежда точно, но можем да помислим за секунда за това. Тук ще има някаква точка, ето някъде тук, (посочва на чертежа) която по същество ще бъде върхът на тази парабола. В нея функцията достига до най-ниската си стойност, което ще се случи в някакъв момент t, ако си представим, че това тук е оста t. (чертае) Първият въпрос е: можем ли по някакъв начин да преобразуваме функцията алгебрично, така че да бъде лесно да намерим тази най-ниска точка, в която е върхът на параболата. Постави видеото на пауза и помисли върху това. Вероятно се досещаш, че търсим параболичния вид, който е видът с отделен точен квадрат, където веднага можем да определим върха. Начинът, по който можем да го намерим, е всъщност да допълним израза до точен квадрат. Първото нещо, което ще направя – тук ще изнеса две пред скоби, защото две е общ множител и на двата члена. Значи v от t е равно на 2 по t на квадрат, минус 10 по t. Ще оставя малко място, за да допълним до точен квадрат, което ни дава параболичния вид – тук просто изваждаме и добавяме една и съща стойност към едната страна. Всъщност ние няма да променим стойността на тази страна на равенството, но го записваме по начин, по който да получим израз с точен квадрат, след което вероятно ще добавим или извадим някаква стойност ето тук. Как да превърнем този израз в точен квадрат? Ако този метод за допълване до точен квадрат ти изглежда непознат, ти препоръчвам да гледаш уроците за допълване до точен квадрат в Кан Академия. Но начинът, по който допълваме до точен квадрат, е да разгледаме коефициента пред този член от първа степен тук, той е минус 10, след което си казваме – да вземем половината на този коефициент и да я повдигнем на втора степен. Половината на минус 10 е минус 5, а на втора степен това дава 25. Ако тук имаме 25, тогава този израз става точен квадрат. Можем да видим, че това е еквивалентно на целия този израз, ако добавим тук 25, тогава това е равно на (t – 5) на квадрат, което е ето тази част тук (посочва на екрана). Това е причината да вземем половината на този коефициент и да я повдигнем на квадрат. Но както казах преди няколко секунди, или няколко минути, не можем просто хей така да прибавим 25 само към едната страна на уравнението. Тогава това равенство вече няма да е изпълнено. Всъщност ние не прибавихме просто 25. Спомни си, че пред скобите имаме 2, така че прибавихме 2 по 25. Можеш да провериш това, като разкриеш скобите и умножиш по 2, ще получиш t на квадрат, минус 20 по t, плюс 50, т.е. плюс 2 по 25. За да се запази равенството, или за да продължи то да бъде вярно, трябва да извадим 50. Искам да поясня, това не е нещо странно, което правя сега. Просто прибавям 50 и изваждам 50. Може би ще кажеш, че прибавихме 25, а не 50. Но виж, когато добавихме 25, то е тук вътре в скобите, а после целият този израз се умножава по 2, така че по същество прибавяме 50, затова трябва да извадим 50, за да получим първоначалното равенство. Когато го разглеждаме по този начин, сега v от t ще е равно на 2 по целия израз в скобите, което вече установихме, че е равно на (t – 5) на квадрат, а след това имаме минус 50. С какво ни е полезен изразът в този си вид? Това е параболичният вид, в който лесно определяме върха на параболата. Тук много лесно определяме коя е най-ниската точка. Най-ниската точка е тази, когато тази част е с минимална стойност. (подчертава на екрана) Тази част има минимална стойност, когато – да видим, имаме 2 по нещо на квадрат. Ако имаме нещо на квадрат, то ще има най-малка стойност, когато изразът вътре в скобите е нула, иначе ще има положителна стойност. Тази част ето тук ще бъде нула, когато t е равно на 5. Най-малката стойност е, когато t е равно на 5. Ще използвам различен цвят, не искам да повтарям цветовете толкова често. Значи ако кажем, че v от пет е равно на 2 по (5 – 5), опитвам се да спазвам цветовете, минус 5 на квадрат, минус 50. Обърни внимание, че целият израз става равен на нула ето тук. Значи v от 5 е равно на минус 50, което е най-ниската точка на графиката, или най-ниската нетна стойност на ресторанта. Тъй като t е в месеци, достигаме най-ниската точка – преобразувахме функцията в параболичен вид, за да е лесно да намерим тези стойности, и видяхме, че най-ниската точка достигаме при t = 5. Това е на петият месец. А каква е самата най-ниска стойност? Тя е равна на минус 50. Спомни си, че функцията ни дава нетната стойност в хиляди долари, значи това са минус 50 000 долара – това е най-ниската нетна стойност на ресторанта. Може да попиташ какво означава отрицателна нетна стойност в този случай. Представи си, че сградата е на стойност 50 000 долара, но фирмата дължи 100 000 долара, тогава нетната стойност на ресторанта е минус 50 000 долара.