Стратегии за решаване на квадратни уравнения

В това видео ще разгледаме някои трудности, които може да се появят, когато решаваме квадратно уравнение като даденото тук. Защо това уравнение е квадратно? Уравнението е квадратно, защото съдържа член от втора степен ето тук, а е уравнение, защото има нещо от двете страни на знака за равенство. Едната стратегия за решаване, която хората биха опитали, е когато имаме нещо на квадрат, да коренуваме двете страни на уравнението. Ако направиш това, ще получиш корен квадратен от х на квадрат, плюс 4 по х, плюс 3, равно на корен квадратен от минус 1. Тук веднага виждаме няколко проблема. Дори тук да нямаме минус 1, това е най-очевидният проблем, но дори тук да имаме положителна стойност, как можем да опростим или как можем да отделим х от едната страна? Много бързо стигаме до задънен улица. Така че, неизбежно, коренуването на двете страни на квадратното уравнение не ни помага с нищо. Тук ще напиша главно Х. Друг начин, който понякога опитват хората, е да отделят от едната страна на знака за равенство само х на квадрат. Можеш да се досетиш – само ще го препиша. х на квадрат, плюс 4 по х, плюс 3, равно на минус 1. Тук можем да опитаме да отделим х на квадрат от едната страна, като извадим 4 по х от двете страни на уравнението и като извадим 3 от двете страни на уравнението. Какво ще се получи? В лявата страна на уравнението ще остане само х на квадрат, а от дясната страна получаваме минус 4 по х, минус 4. И сега може да кажеш, че ако коренуваме двете страни на уравнението, ще получим – ще го напиша. Корен квадратен от х на квадрат равно – може да напишеш плюс и минус от едната страна, за да е сигурно, че не изпускаш отрицателните корени. Минус 4 по х, минус 4. Ще получим нещо подобно, х равно на плюс или минус корен квадратен от минус 4 по х, минус 4, но това все още не ни помага. Още не знаем стойността на х, и по същество не е ясно как да преобразуваме това алгебрично. Това отново е задънена улица. Има някои случаи, в които този метод ще проработи. Например е приложим, ако нямаме този член от първа степен. Ако го нямаше този член, съдържащ х от първа степен. Тогава тази стратегия щеше да е приложима, стига да съществуват решения. Но понеже имаме член, съдържащ х ето тук, който няма как да се унищожи, ако например от другата страна имаше друго 4 по х, тогава щяхме да извадим 4 по х от двете страни и те щяха да изчезнат. Но ние не можем да се отървем от тези членове, така че тази стратегия, която описах току-що, не може да даде резултат. Друга стратегия, която някои хора биха използвали, особено когато видят нещо подобно – ще препиша това. х на квадрат плюс 4 по х, плюс 3, равно на минус 1. Някои хора веднага биха започнали да разлагат. Те казват: "Мисля, че мога да разложа това. Ще намеря две числа, чийто сбор е равен на 4, а произведението им е 3. Може би това са 3 и 1. После разлагат лявата страна на уравнението, получава се (х + 3) по (х + 1), после равно на минус 1. И тук те или ще допуснат грешка, макар че това е вярно от алгебрична гледна точка. Но тук те или ще направят грешка, или ще стигнат отново до задънена улица. Защото само фактът, че нещо по нещо е равно на минус 1 изобщо не е достатъчен за решението. Не е ясно как да намерим стойността на х. Друго нещо, което можем да опитаме, е веднага да кажем, че тогава х е равно на минус 3, или х е равно на минус 1, защото минус 3 ще направи първия член равен на нула, а минус 1 би направило втория член равен на нула. Но си спомни, че това е вярно само когато умножаваме два члена и получаваме нула като произведение. Тогава решенията ще бъдат всяка стойност на х, за която единият или двата члена стават нула. Но тук случаят не е такъв. Тук произведението им е равно на минус 1. За да разложим по този начин и да постигнем резултат в повечето случаи, трябва да имаме равно на нула от дясната страна на уравнението. Това е вярно също така, ако използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Много хора биха казали, когато видят квадратно уравнение: "Просто ще приложа формулата за корените на квадратното уравнение. Щом уравнението е във вида а по х на квадрат, плюс b по х, плюс с, равно на нула, тогава съгласно формулата за корените на квадратно уравнение корените са равни на х равно на минус b плюс или минус корен квадратен от b на квадрат, минус 4 по а, по с, цялото това върху 2 по а. Тогава те веднага ще кажат, че тук разпознават а, което е равно на 1, тук по подразбиране има коефициент едно, b е равно на 4, с е равно на 3. Тогава ще кажат, че х е равно на минус 4, плюс или минус корен квадратен от b на квадрат, което е 16, минус 4 по 1, т.е. по 3, всичко това върху 2 по 1. Но тук има проблем. Тази формула за корените на квадратно уравнение се използва, когато лявата страна е равна на нула. А тук случаят не е такъв. Така че стигаме до същата задънена улица. Всичко, което току-що направих, не върши работа. Начинът, по който трябва да подходим, е ако искаме тук да получим нула, трябва да добавим 1 към дясната страна на уравнението, и за да запазим равенството, трябва да добавим 1 и към лявата страна на уравнението. Така ще получим х на квадрат, плюс 4 по х, плюс 4, равно на 0. Сега вече можем да използваме формулата за корените на квадратно уравнение или можем да разложим този израз. Можем да видим, че 2 плюс 2 дава 4. 2 по 2 дава 4. Следователно (х + 2) по (х + 2) е равно на нула. В този случай х може да е равно на минус 2, или х може да е равно на минус 2. Значи имаме само едно решение, х е равно на минус 2. Важното тук е да разпознаем, че отдясно трябва да е нула, ако искаме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение или ако искаме да разложим израза на множители.