Основно съдържание

Курс: Алгебра 1 > Раздел 13

Урок 9: Стратегия при разлагане на квадратни изрази

Разлагане на квадратни изрази от всякакъв вид

Свържи в едно всичко, което научи за разлагането на квадратни изрази, за да разложиш различни квадратни изрази от всякакъв вид.

Какво трябва да знаеш за този урок

В този урок ще бъдат използвани следните методи на разлагане:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще упражниш съвместното използване на тези методи за успешно разлагане на квадратни изрази от всякакъв вид.

Въведение: Преглед на методите за разлагане

Метод	Пример	Кога е приложим?
Изнасяне пред скоби на общите множители	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Ако всички членове в многочлена имат един и същ общ множител.
Формула за умножение на сборове	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Ако многочленът е във вид $x^{2} + b x + c$ ‍ и има делители на $c$ ‍, сборът на които е равен на $b$ ‍.
Метод на групирането	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Ако многочленът е във вида $a x^{2} + b x + c$ ‍ и има множители на $a c$ ‍, чийто сбор е равен на $b$ ‍.
Тричлен с точен квадрат	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Ако първият и последният член са точни квадрати, а средният е два пъти произведението от техните квадратни корени.
Разлика на квадрати	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Ако изразът представя разлика от квадрати.

Да сглобим общата картина

На практика рядко ти се казва какъв тип метод(и) на разлагане да използваш, когато решаваш задачи. Така че е важно да разработиш някакъв вид списък за проверка, който да използваш, за да се улесни процесът на разлагане.

Ето един пример за такъв списък, в който поредица от въпроси са зададени, за да определим как да разложим квадратен многочлен.

Разлагане на квадратни изрази

Преди да започнеш да решаваш задача за разлагане, е полезно да запишеш израза в стандартен вид.

След това вече можеш да преминеш към следния списък от въпроси:

Въпрос 1: Има ли общ делител?
Ако не, отиди към въпрос 2. Ако да, намери НОД и отиди към въпрос 2.

Намирането на НОД е много важна стъпка в процеса на разлагане, тъй като прави числата по-малки. Това от своя страна улеснява разпознаването на формулите!

Въпрос 2: Има ли разлика на квадрати (т.е. $x^{2} - 16$ ‍ или $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Ако има разлика на квадрати, разложи, като използваш формулата

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Ако няма, премини към въпрос 3.

Въпрос 3: Има ли тричлен с точни квадрати (напр. $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ или $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Ако има тричлен с точни квадрати, разложи с помощта на формулата

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Ако няма, премини към въпрос 4.

Въпрос 4:

a) Има ли израз от вида $x^{2} + b x + c$ ‍?
Ако няма, премини към въпрос 5. Ако има, премини към б).

б) Има ли делители на $c$ ‍, чийто сбор е равен на $b$ ‍?
Ако има, тогава разложи, като използваш формулата за произведение на сборове. Иначе квадратният израз не може да бъде разложен повече.

Въпрос 5: Има ли делители на $a c$ ‍, чийто сбор е равен на $b$ ‍?
Ако си стигнал дотук, вероятно квадратният израз е от вида

a x^{2} + b x + c

, където

a \neq 1

. Ако има делители на

a c

, чийто сбор е равен на

b

, използвай метода на групирането, за да разложиш израза. Ако няма, то квадратният израз не може да бъде разложен повече.

Следването на този списък ще ти помогне да се увериш, че си разложил квадратния израз напълно!

Когато разлагаш напълно, продължаваш да разлагаш, докато всички множители не могат да се разложат по-нататък.

Например помисли за многочлена

2 x^{2} - 4 x - 16

. Той може да бъде разложен чрез изнасяне на общ множител

2

$2 x^{2} - 4 x - 16 = 2 (x^{2} - 2 x - 8)$ ‍

Но това не е пълно разлагане, тъй като

x^{2} - 2 x - 8

може да се разложи още. При сумиране в тази последна стъпка процесът изглежда така:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 4 x - 16 & = 2 (x^{2} - 2 x - 8) \\ = 2 (x - 4) (x + 2) \end{aligned}$ ‍

Тук вече не можем да разлагаме повече, тъй като изразихме многочлена като произведение на линейни множители без НОД.

И докато

2 (x^{2} - 2 x - 8)

е разлагане на

2 x^{2} - 4 x - 16

, пълното разлагане е

2 (x - 4) (x + 2)

Като имаме предвид това, нека опитаме няколко примера.

Пример 1: Разлагане на $5 x^{2} - 80$ ‍

Обърни внимание, че изразът вече е в стандартен вид. Можем да пристъпим към списъка.

Въпрос 1: Има ли общ делител?
Да. НОД на

5 x^{2}

80

5

. Можем да разложим израза както следва:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Въпрос 2: Има ли разлика на квадрати?
Да.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Можем да използваме формулата за "разлика на квадрати", за да продължим да разлагаме многочлена, както е показано по-долу.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Няма повече квадрати в израза. Ние напълно разложихме многочлена.

В заключение

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Пример 2: Разлагане на $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Квадратният израз отново е в стандартен вид. Нека да започнем контролния списък!

Въпрос 1: Има ли общ делител?
Не. Членовете

4 x^{2}

12 x

9

нямат общ делител. Следващ въпрос.

Въпрос 2: Има ли разлика на квадрати?
Не. Има един член

x

и това не може да бъде разлика на квадрати. Следващият въпрос.

Въпрос 3: Има ли тричлен с точни квадрати?
Да. Първият член е точен квадрат, тъй като

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, а последният член е точен квадрат, тъй като

9 = (3)^{2}

. Също така средният член е два пъти произведението на числата, които са на квадрат, понеже

12 x = 2 (2 x) (3)

Можем да използваме метода за тричлен с точни квадрати, за да разложим квадратния израз.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

В заключение

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Пример 3: Разлагане на $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

В момента квадратният израз не е в стандартен вид. Можем да го запишем като

3 x^{2} + 12 x - 63

и след това да продължим по списъка.

Въпрос 1: Има ли общ делител?
Да. НОД на

3 x^{2}

12 x

63

3

. Можем да разложим израза както следва:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Въпрос 2: Има ли разлика на квадрати?
Не. Следващият въпрос.

Въпрос 3: Има ли тричлен с точни квадрати?
Не. Забележи, че

21

не е точен квадрат, така че това не е тричлен с точен квадрат. Следващ въпрос.

Въпрос 4а: Има ли израз от вида $x^{2} + b x + c$ ‍?
Да. Полученият квадратен израз

x^{2} + 4 x - 21

е от този вид.

Въпрос 4б: Има ли делители на $c$ ‍, чийто сбор е равен на $b$ ‍?
Да. По-конкретно има делители на

- 21

, чийто сбор е равен на

4

Тъй като

7 \cdot (- 3) = 21

7 + (- 3) = 4

, можем да продължим да разлагаме както следва:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

В заключение

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Пример 4: Разлагане на $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Обърни внимание, че този квадратен израз вече е в стандартен вид.

Въпрос 1: Има ли общ делител?
Да. НОД на

4 x^{2}

18 x

10

2

. Можем да разложим това както следва:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Въпрос 2: Има ли разлика на квадрати?
Не. Следващият въпрос.

Въпрос 3: Имах ли тричлен с точен квадрат?
Не. Следващ въпрос.

Въпрос 4a: Има ли израз от вида $x^{2} + b x + c$ ‍?
Не. Основният коефициент пред члена от втора степен е

2

. Следващ въпрос.

Въпрос 5: Има ли делители на $a c$ ‍, чийто сбор е $b$ ‍?
Полученият квадратен израз е

2 x^{2} + 9 x - 5

и търсим делители на

2 \cdot (- 5) = - 10

, чийто сбор е

9

Тъй като

(- 1) \cdot 10 = - 10

(- 1) + 10 = 9

, отговорът е "да".

Сега можем да запишем средния израз като

- 1 x + 10 x

и да използваме групиране, за да разложим:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) & = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Раздроби средния член & = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Групирай членовете & = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Намери НОД & = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Изнеси 2 x - 1 \end{aligned}

Провери знанията си

1) Разложи $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ напълно.

2) Разложи $3 x^{2} - 60 + 300$ ‍ напълно.

3) Разложи $72 x^{2} - 2$ ‍ напълно.

4) Разложи $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ напълно.

5) Разложи $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ напълно.

6) Разложи $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ напълно.

7) Разложи $3 x^{2} + 27$ ‍ напълно.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 27 \\ = 3 (x^{2} + 9) & Изнеси 3 \end{aligned}

Изразът

x^{2} + 9

не може да бъде разложен по-нататък.

Можем да се уверим, че това е така, като запишем израза като

x^{2} + 0 x + 9

. Тъй като няма две числа, чието произведение е

9

и сборът на които е

0

, този израз не подлежи на разлагане.

Друг начин да представим това е, че

x^{2} + 9

е сума от квадрати, а не разлика на квадрати. Сума от квадрати никога не може да бъде разложена в реални числа.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра 1

Курс: Алгебра 1 > Раздел 13

Какво трябва да знаеш за този урок

Какво ще научиш в този урок

Въведение: Преглед на методите за разлагане

Да сглобим общата картина

Разлагане на квадратни изрази

Пример 1: Разлагане на 5x2−80‍

Пример 2: Разлагане на 4x2+12x+9‍

Пример 3: Разлагане на 12x−63+3x2‍

Пример 4: Разлагане на 4x2+18x−10‍

Провери знанията си

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Разлагане на $5 x^{2} - 80$ ‍

Пример 2: Разлагане на $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Пример 3: Разлагане на $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Пример 4: Разлагане на $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍