Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Урок 1: Имагинерната единица i

Въведение към имагинерни числа

Научи какво представлява имагинерната единица i, какво са имагинерните числа и квадратните корени от отрицателни числа.

В обучението си по математика може би забеляза, че някои квадратни уравнения нямат никакви решения реални числа.

Например ако можеш опитай, но никога няма да успееш да намериш решение, което да е реално число на уравнението

x^{2} = - 1

. Това е така, защото е невъзможно да повдигнеш на квадрат реално число и да получиш отрицателно число!

Обаче решение на уравнението

x^{2} = - 1

не съществува в една нова числова система, наречена система от комплексни числа.

Имагинерната единица

Гръбнакът на тази нова система е имагинерната единица или числото

i

Следното важи за числото

i

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

Второто свойство ни показва, че числото

i

е наистина решение на уравнението

x^{2} = - 1

. Предното нерешено уравнение сега може да се реши с помощта на имагинерната единица!

Чисто имагинерни числа

Числото

i

по никакъв начин не е само! Намирайки кратните на тази имагинерна единица, можем да създадем безкрайно много чисти имагинерни числа.

Например

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

са всичките примери за чисти имагинерни числа или числа от вида

b i

, където

b

е ненулево реално число.

Изчисляването на квадратите от тези числа хвърлят някаква светлина върху въпроса, как са свързани с реалните числа. Нека изследваме това с повдигането на квадрат на числото

3 i

. Характеристиките на имагинерните степенни показатели остават еднакви, така че можем да повдигнем на квадрат

3 i

точно както си го представяме.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Използвайки факта, че

i^{2} = - 1

, можем да опростим това допълнително, както е показано.

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

Фактът, че

(3 i)^{2} = - 9

означава, че

3 i

е квадратен корен от

- 9

Провери знанията си

Колко е $(4 i)^{2}$ ‍?

Кое от следните е корен квадратен от $- 16$ ‍?

По този начин виждаме, че чисто имагинерните числа са квадратни корени от отрицателни числа!

Опростяване на чисто имагинерни числа

Таблицата по-долу показва примери за чисто имагинерни числа в не опростен и в опростен вид.

Не опростен вид	Опростен вид
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Но как опростяваме тези чисто имагинерни числа?

Нека разгледаме отблизо първия пример и видим дали можем да го разберем в процеса на опростяването.

Първоначална равностойност	Процес на разсъждения
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	Квадратният корен от $- 9$ ‍ е имагинерно число. Квадратният корен от $9$ ‍ е $3$ ‍, така че корен квадратен от минус $9$ ‍ е $3$ ‍ имагинерни единици или $3 i$ ‍.

Следното свойство обяснява по-горния "процес на разсъждения" в математически контекст.

За $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Ако свържем всичко с това, което вече знаем за опростяването на числа под корен, можем да опростим всички чисто имагинерни числа. Нека разгледаме един пример.

Пример

Опрости

\sqrt{- 18}

Решение

Нека първо обърнем внимание, че

\sqrt{- 18}

е имагинерно число, тъй като то е корен квадратен от отрицателно число. Следователно можем да започнем като напишем

\sqrt{- 18}

като

i \sqrt{18}

След това нека опростим

\sqrt{18}

, като използваме това, което вече знаем за опростяването на числа под корен.

Решението е показано по-долу.

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & За a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9 е делител точен квадрат на 18 \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} когато a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & Умножението е комутативно \end{aligned}

От тук следва, че

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

Нека се упражним с няколко задачи

Задача 1

Опрости

\sqrt{- 25}

Задача 2

Опрости

\sqrt{- 10}

Задача 3

Опрости

\sqrt{- 24}

Защо все пак има имагинерни числа?

Отговорът е прост. Имагинерната единица

i

ни позволява да намерим решенията на много уравнения, коти нямат решения реални числа.

Това може да изглежда странно, но всъщност е много често използвано за уравнения, които са не решими в една числова система, но решими в друга, по-обща числова система.

Ето няколко примера с които може да си по-запознат.

Само с броимите числа не можем да решим $x + 8 = 1$ ‍; за това ни трябват целите числа!
Само с целите числа не можем да решим $3 x - 1 = 0$ ‍; за това ни трябват рационални числа!
Само с рационални числа не можем да решим $x^{2} = 2$ ‍. Въведи ирационалните числа и системата с реални числа!

Така че само с реалните числа не можем да решим

x^{2} = - 1

. За това ни трябват имагинерни числа!

Като продължиш да учиш математика, ще започнеш да виждаш важността на тези числа.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.