Системи уравнения от втора степен: права и окръжност

Какви са решенията на системата от уравнения у е равно на х плюс 1 и х на квадрат плюс у на квадрат е равно на 25? Нека първо само да си представим, какво се опитваме да направим. Ще се опитам да направя груба графика на тези две уравнения. И така, оста у, а това е оста х. Това тук, х на квадрат плюс у на квадрат е равно на 25, ще бъде окръжност, центрирана в 0 с радиус 5. Не е необходимо да знаеш това, за да решиш тази задача, но то ще ти помогне да си го представиш. Ако това е 5, това е 5, 5, 5. Това тук е минус 5. Това тук е минус 5. Това уравнение ще бъде представено от това множество от точки или това е множеството от точките, които удовлетворяват уравнението. Нека да -- ето. Опитвам се да го начертая колкото мога по-близко до перфектна окръжност. И след това у е равно на х плюс 1 е права с наклон 1 и с една пресечна с оста у. И така, това е 1, 2, 3, 4. Пресечната на у е там и има наклон от 1, така че изглежда по следния начин. Когато търсим решенията, ние търсим точките, които удовлетворяват и двете уравнения. Точките, които удовлетворяват и двете уравнения, са точките, които се намират и в двете. Така че това е тази точка -- нека я напиша със зелено -- това е тази точка и тази точка ето тук. И така, как всъщност намираме това? Ами най-лесният начин е да -- добре, понякога най-лесният начин е да заместим с едното от тези условия в другото. И тъй като тук вече имаме у, можем да заместим у в синьото уравнение с х плюс 1, с това условие ето тук. Вместо да кажем х на квадрат плюс у на квадрат е равно на 25, можем да кажем х на квадрат плюс и вместо да пишем у, прибавяме условието, че у трябва да бъде х плюс 1. Така че имаме плюс, х плюс 1 на квадрат, трябва да бъде равно на 25. И сега можем да се опитаме да намерим х. Получаваме х на квадрат плюс -- сега повдигаме на квадрат това. Ще получим -- нека го напиша с лилаво -- ще получим х на квадрат плюс 2х, плюс 1, като това трябва да бъде равно на 25. Имаме 2х на квадрат -- сега, просто обединявам тези два члена -- 2х на квадрат плюс 2х, плюс 1 е равно на 25. Сега, можем просто да използваме квадратната формула, за да намерим -- трябва да бъдем внимателни. Трябва да сложим това да е равно на 0 и след това да използваме квадратната формула. Така че нека извадим 25 от двете страни и ще получиш 2х на квадрат плюс 2х, минус 24 е равно на 0. И всъщност нека -- просто за да го опростим -- нека разделим двете страни на 2 и получаваш х на квадрат плюс х, минус 12 е равно на 0. И всъщност дори не трябва да използваме квадратната формула, а можем да разложим това тук. Кои са двете числа, на които ако вземем произведението, ще получим минус 12, а когато ги съберем, ще получим плюс 1? Ами плюс 4 и минус 3 ще свършат работа. Имаме х плюс 4, по х минус 3 е равно на 0. Така че х може да бъде равно на -- ако х плюс 4 е 0, тогава цялото това нещо ще бъде вярно. Така че х може да бъде равно на минус 4 или х може да бъде равно на плюс 3. Така че това тук е ситуация, където х е минус 4. Това тук е ситуация, където х е 3. Почти сме готови, просто трябва да намерим съответните у стойности. И за за да го направим, можем просто да прибегнем до най-простото уравнение тук, у е х плюс 1. В тази ситуация, когато х е минус 4, у ще бъде това плюс 1. Така че у ще бъде минус 3. Това е точката минус 4 запетая минус 3. По същият начин, когато х е 3, у ще бъде равно на 4. Така че това е точката 3 запетая 4. Това са двете решения на тази нелинейна система от уравнения.