Преобразуване на корени като степени с рационални степенни показатели

Трябва да определим дали дадените изрази са еквивалентни на корен седми от v^3. Спри видеото и виж дали можеш да намериш кой от тях е еквивалентен на корен седми от v^3. Един добър начин да намерим, дали нещата са еквивалентни, е просто да се опитаме да ги приведем всичките в един и същ вид. И така, корен седми от v^3. Корен седми от нещо е същото като повдигането му на степен 1/7. Така че това е еквивалентно на v на трета степен, повдигнато на степен 1/7. Ако повдигна нещо на някаква степен и след това повдигна това на друга степен, тогава това е същото като повдигането му на степен, равна на произведението от тези два степенни показателя. Това е равно на v на степен 3 по 1/7, което разбира се е 3/7. Написахме го по няколко начина. Да видим кои от тези отговори съвпадат. И така, v на трета, цялото на степен 1/7. Това беше формата, която имаме ето тук, така че това е еквивалентно. v на 3/7. Това имаме ето тук, така че и този израз определено е еквивалентен. Сега нека помислим върху този. Това е кубичен корен от v на седма степен. Това ще бъде ли еквивалентно? Единият от начините да го разглеждаме е, че това ще бъде същото като v на степен 1/3... всъщност не, това не беше кубичен корен от v на седма степен, това беше кубичен корен от v, като цялото е на седма степен. Така че това е същото като v на степен 1/3 и след това повдигнато на седма степен. Така че това е същото като v на степен 7/3, което очевидно е различно от v на степен 3/7. Така че това няма да бъде еквивалентно за всички v, за които този израз е определен. Нека решим още няколко от тези или подобни задачи, при които има корени и дробни степенни показатели. Следното уравнение е вярно за g по-голямо или равно на 0, като d е константа. Каква е стойността на d? Ако имам корен шести от нещо, това е същото като повдигането му на степен 1/6. Корен шести от g^5 е равно на g^5 повдигнато на степен 1/6. И точно както видяхме в последния пример, това е същото като g на степен 5 по 1/6. Това следва от свойствата на степенните показатели. Повдигам нещо на степен и след това повдигам цялото това на друга степен. Мога просто да умножа степенните показатели. Така че това е същото нещо като g на степен 5/6. Така че d е 5/6. 5 върху 6. Корен шести от g на пета е същото като g на степен 5/6. Нека решим още една от тези. Следното уравнение е вярно за х по-голямо от 0, а d е константа. Каква е стойността на d? Добре, това е интересно. Забравих да ти кажа при последното, че ти препоръчвам да спреш видеото на пауза и да опиташ да го решиш ...или спри на пауза също и тази задача и виж дали можеш да я решиш. Добре, нека тук просто напишем корена като степенен показател. Мога да напиша цялото отново. Това е същото като 1 върху... вместо да пиша корен седми от х, ще напиша х на степен 1/7 е равно на х^d. И ако имаме 1 върху нещо на някаква степен, това е същото като това нещо, повдигнато на отрицателното от тази степен. Така че това е същото като х на степен –1/7. Така че това ще бъде равно на х на степен d. d трябва да бъде равно на –1/7. Ключът тук е, когато вземем реципрочното на нещо, това е същото като повдигането му на отрицателното на тази степен. Друг начин да помислим върху това е, че можеш да го разгледаш като х на степен 1/7, цялото на степен – 1. И тогава ако умножиш тези степени, получаваш това, което имаме ето там. Но и по двата начина d е равно на –1/7.