Тълкуване на изрази с много променливи: цилиндър

В условието е дадено, че един цилиндър има височина h и обем V . Джил използва следната формула: r е равно на корен квадратен от V върху пи по h, за да пресметне кога радиусът му ще е равен на 20 метра. Ако имаме втори цилиндър, който е със същия обем като първия, но височината му е 100 пъти по-голяма, какъв е радиусът на втория цилиндър? Постави видеото на пауза и виж дали можеш да го намериш самостоятелно. Добре, сега да го решим заедно. Винаги предпочитам първо да разгледам нещата логически. Да кажем, че първият цилиндър изглежда ето така. Вторият цилиндър тук е 100 пъти по-висок. Трудно ще начертая нещо, което е 100 пъти по-високо. Но ако той има същия обем, той трябва да е много по-тесен. За да запазим обема, когато правим цилиндъра по-висок – изобщо няма да успея тук да го направя 100 пъти по-висок, тогава трябва да намалим радиуса. Значи ще очакваме радиусът да е много по-малък от 20 метра. Това е първото нещо, което да съобразим логически, за да сме сигурни, че няма да получим отговор, който е по-голям от 20 метра. Но как да разберем колко е този радиус? Сега можем да се върнем към формулата, като знаем, че Джил е пресметнала първият радиус като 20 метра. Значи 20 равно на корен квадратен от V върху пи по h. Ако тази формула ти е непозната, си припомни как се намира обем на цилиндър, който е равен или на горната, или на долната основа, значи пи по r^2, по височината. За да намерим стойността на r, ще използваме същата формула, която използва Джил. Това не е някаква нова формула. Може би вече ти е позната. Знаем, че 20 метра е равно на това, като сега имаме случай, в който височината е 100 пъти по-висока. Радиусът на втория цилиндър е корен квадратен от – обемът V не се променя, затова тук пиша V. Пи не се променя. То винаги си е пи. Сега тук вместо h имаме 100 пъти по-голяма височина. Можем да представим височината като 100 по h. По какъв друг начин можем да представим това? Искам да изнеса това 100 извън корена, така че пак да остане корен квадратен от V върху пи по h. Значи това е равно на корен квадратен от 1 върху 100 по V върху пи по h, което мога да запиша като корен квадратен от 1/100 – тук просто използвам свойствата на корените – по корен квадратен от V върху пи по h. Ние знаем колко е корен квадратен от V върху пи по h. Знаем, че това е 20, като мерната единица е метър. Значи това е 20. Колко е корен квадратен от 1 върху 100? Това е равно на едно върху корен квадратен от 100. И тук, разбира се, имаме по 20. Корен квадратен от 100, положителният корен квадратен от 100 е равен на 10. Следователно радиусът на новия цилиндър – на втория цилиндър – радиусът е 1/10 от 20, което е равно на 2 метра. И сме готови. Вторият цилиндър ще има радиус 2 метра, което съвпада с нашите логически изводи. Ако увеличим височината с коефициент 100, тогава радиусът намалява с коефициент 10. Причината за това е, че тук повдигаме на квадрат радиуса. Ако височината нарасне 100 пъти, а радиусът се намали 10 пъти, тогава обемът на цилиндъра не се променя.