Модел за намиране на лице за умножение на многочлени с отрицателни членове

В предишните видео уроци вече разглеждахме използването на модели с лица на фигури за умножаване на изрази, например като умножаването на (х + 7) по (х + 3). В тези уроци видяхме, че можем да разглеждаме намирането на лице на правоъгълник, като можем да разделим дължината на правоъгълника на една част с дължина х, а после оставащата част разглеждаме като дължина 7. Значи това тук ще бъде 7, а после общата дължина на тази страна на правоъгълника ще бъде (х + 7). Общата дължина на тази страна тук ще бъде х плюс... ето тук имаме дължина 3. Моделите с лица на правоъгълник ни помагат да си представим защо умножаваме различните членове или как умножаваме различните членове на израза. Защото, когато разглеждаме цялото лице на правоъгълника, цялото лице е равно на (х + 7) по (х + 3). После можем да разделим този правоъгълник на тези по-малки правоъгълници. Този правоъгълник тук всъщност е квадрат и лицето му е равно на х на квадрат. Този правоъгълник тук има лице 7 по х. Този правоъгълник има лице 3 по х. После този правоъгълник ето тук има лице 3 по 7, което дава 21. Така намираме, че цялото това произведение тук е равно на х на квадрат плюс 7 по х, плюс 3 по х, плюс 21. Това е лицето на целия правоъгълник. Разбира се, можем да съберем 7 по х и 3 по х, което дава 10 по х. Но може би се чудиш: "Всичко това е много хубаво, когато имаме плюс 7 и имаме плюс 3. Можем да си представим положителни дължини. Можем да си представим положителни лица. Но ако не е така? Ами ако тук имаме знак минус?" Например, ако сега опитаме да направим същото нещо, ако кажем, че тази дължина тук отгоре е равна на (х – 7). Да използваме същото число, да кажем, че тази дължина тук е минус 7. Това е дължина –7, а ние не сме свикнали да разглеждаме дължините като отрицателни. Но да приемем, че е така. После височината ето тук, нека да е (х – 3). Тази част от височината тук нека да е равна на х. А тази част от височината можем да означим като минус 3. Да видим, ако повторим това, което направихме предишния път, това лице тук ще бъде х на квадрат. Това лице ще бъде –7 по х, значи това е –7 по х. Лицето на зеления правоъгълник ще бъде –3 по х. После лицето на оранжевия правоъгълник е –3 по –7, което е равно на плюс 21. Цялото произведение е равно на х на квадрат, минус 7 по х, минус 3 по х, плюс 21. Можем, разбира се, да съберем тези два члена и ще получим минус 10 по х. В това има ли смисъл? Единият начин да разглеждаме това е, че това отрицателно лице е лице, което трябва да извадим от общото лице. Ако тук имаме положително число, тогава лицето на този розов правоъгълник ще бъде отрицателно, така че трябва да го извадим от общото лице. Точно това се случва тук в този израз. Заслужава си да споменем, че дори преди, когато това тук не беше –7, когато тук имахме плюс 7, а това беше плюс 7 по х, беше напълно възможно това х да е отрицателно, като в този случай пак щяхме да имаме отрицателно лице. За да разберем какво означава това, дори когато работим с отрицателни числа, ще дам един пример – ако х беше равно на 10. Това ще ни помогне да схванем логиката. Ако х беше равно на 10, тогава моделът на лицето щеше да изглежда ето така. Ще имаме 10 минус 7, ще напиша ето тук –7, по 10 минус 3. Сега можеш да си представиш какво ще се получи. 10 минус 7 е равно на 3. 10 минус 3 е равно на 7. Така че всичко това прави плюс 21. Да проверим, че това наистина е точно така. Това синьо лице ще бъде 10 по 10, което е 100. Това розово лице сега е 10 по –7. Това е равно на минус 70, така че ще го извадим от общото лице. Това зелено лице е –3 по 10. Значи е равно на –30. После –3 по –7, това оранжево лице е равно на плюс 21. Има ли логика в това? Да видим, ако вземем това положително лице, 100 минус 70, минус 30, а после ако прибавим 21, 100 минус 70 е равно на 30, минус още 30 дава 0, а после ни остава това 21, което е точно резултатът, който очакваме. Можеш да преместиш това розово лице и да го извадиш от синьото лице. После можеш да вземеш този зелен правоъгълник и да го изправиш вертикално, и тогава можеш да извадиш останалото синьо лице. И така ще ти остане само оранжевото лице. Надявам се, че това ти помага да разбереш, че моделите с лица на умножението на рационални изрази могат да се използват и когато съдържат отрицателни членове. И да напомня, че когато тук имаме само хиксове, те също биха могли да са отрицателни.