Определяне на знака на средната скорост на изменение на многочлени

Дадена ни е функцията h(х) и трябва да определим в кой интервал функцията h има положителна средна скорост на изменение. Както винаги – препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ самостоятелно, преди да решим задачата заедно. Добре, сега да решим това заедно. Като начало, нека да си припомним какво е средна скорост на изменение на функция. Можеш да разглеждаш това като промяната на стойността на функцията спрямо някаква промяна на съответната променлива, т.е. за дадена промяна на х. Можем също така да го разглеждаме като – ако искаме да използваме интервал, можем да кажем х крайно минус х начално, а в числителя ще бъде стойността на функцията при х крайно минус стойността на функцията при х начално. Тук от нас не искат да пресметнем това за всички тези различни интервали. Питат ни само къде скоростта на изменение е положителна. Ако разгледаме тук, когато х крайно е по-голямо от х начално, за да бъде положителна средната скорост на изменение, просто трябва да определим дали h от х крайно е по-голямо от h от х начално. Ако стойността на функцията в крайната точка на интервала е по-голяма от стойността на функцията в предишната крайна точка, тогава ще имаме положителна средна скорост на изменение. Да видим дали е такъв случаят при всеки от тези варианти. Да видим, h (0), в тази крайна точка функцията е равна на 0, 1/8 по 0 минус 0. h(2) е равно на 1/8 по, 2 на трета степен е 8. Значи 1/8 по 8 дава 1, минус 4. Това става –3. Значи тук случаят не такъв, че h в по-голямата крайна точка да е с по-голяма стойност. Тук имаме отрицателна средна скорост на изменение. Значи ще изключим този отговор. За да можем да видим това графично, използвах програмата Desmos и построих графиката на функцията. Тук можем да видим нагледно, че имаме отрицателна средна скорост на изменение от х = 0 до х = 2. Когато х е равно на 0, това е стойността на функцията, а при х = 2 стойността на функцията е ето това, виждаш, при х = 2 функцията има по-малка стойност. Можем също така да разглеждаме средната скорост на изменение на функцията като наклона на правата, която свързва двете крайни точки в даден интервал. Тук виждаме, че правата има отрицателен наклон, следователно имаме отрицателна средна скорост на изменение между тези две крайни точки. А какво да кажем за интервала между тези две точки? Вече пресметнахме, че h(0) е равно на 0, а колко е h(8)? Да видим, това е 1/8 по 8 на трета степен. Когато повдигнем 8 на трета степен, а после го разделим на 8, това е равно на 8 на втора степен. Значи това е 64, минус 8 на втора степен, значи –64, това става равно на 0. Тук имаме средна скорост на изменение на функцията 0, защото числителят става 0, така че изключваме този отговор. Сега да видим този вариант. Когато х е равно на 0, функцията е ето тук, когато х е равно на 8, функцията е ето тук, и можем да видим, че наклонът на правата, която свързва тези две точки, е нула. Значи имаме нулева средна скорост на изменение на функцията между тези две крайни точки. Какво ще кажем за отговор С? Да видим, h(6) е равно на 1/8 по 6 на трета степен. Да видим, 36 по 6 е 180 плюс 36, това дава 216. 216 минус 36, 216 е 6 по 6, по 6, после го делим на 8, това е равно на... това е 36, после имаме 6/8 от 36. Значи това се опростява до 3/4 по 36, минус 36, което е равно на –9. Можеш да го сметнеш и с калкулатор, или да го разделиш на лист, но се надявам, че го пресметнахме вярно. Това е просто аритметика. И така, в h(6) стойността на функцията е –9, а после h(8)... ще ги разделя тук, така че да не става твърде объркано. h(8) вече знаем, че е равно на 0. В тази крайна точка на интервала стойността на функцията е по-голяма от стойността на функцията в тази крайна точка на интервала. Следователно имаме положителна средна скорост на изменение на функцията. Ще избера този вариант ето тук. Можем да видим това и на графиката. h(6), когато х е равно на 6, стойността на функцията е –9. После, когато х е равно на 8, стойността на функцията е 0. Правата, която свързва тези две точки, определено има положителен наклон. Значи имаме положителна средна скорост на изменение на функцията в този интервал. Ако правехме това просто за себе си, щяхме да сме готови, но сега трябва да проверим и този вариант ето тук. Ако сравним h(0), което вече знаем, че е 0, и h(6), за което вече знаем, че е –9, тук имаме отрицателна средна скорост на изменение на функцията, защото при по-голямата крайна точка на интервала тук имаме по-малка стойност на функцията, така че изключваме този вариант. И както виждаме на чертежа, когато х = 0, стойността на функцията е ето това, а при х = 6 стойността на функцията е това, и това изглежда приблизително така. Очевидно тази права има отрицателен наклон. В този интервал функцията има отрицателна средна скорост на изменение.