Специални произведения на многочлени: разлика на квадрати

В по-ранни етапи на нашите математически приключения сме развивали изрази като (х + у) по (х – у). Само да преговорим, това е равно на х по х, което е х на втора степен, плюс х по –у, което е равно на –ху, плюс у по х, което е плюс ху, и накрая минус у по у. Или това е у по минус у, което става минус у на втора степен. Минус ху и плюс ху се унищожават и изразът се опростява до х^2 минус y^2. Това е просто преговор. Учихме това, когато разглеждахме как се разлагат изрази които са разлика на квадрати, учихме го, когато за пръв път се учехме да умножаваме двучлени. А сега всъщност ще направим същото нещо, но само че с малко по-сложни изрази. Друг начин да изразим това, което току-що направихме, е да запишем, че (а + b) по (а – b) е равно на колко? Това е равно на а^2 – b^2. Единствената разлика между това, което направих тук, и това, което направих тук, е, че вместо х записах а, а вместо у записах b. Като знаем това, да видим дали можем да развием и после да обединим подобните членове, ако умножим тези два израза. Значи умножаваме (3 + 5х^4) по (3 – 5х^4). Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно. Добре – тук има два начина да подходим. Можем да използваме съвсем същия начин, както го направихме тук горе, но ние вече знаем тази формула, така че ще имаме нещо плюс нещо, по същото нещо минус другото нещо. Това ще бъде равно на първия член на квадрат минус втория член на квадрат. Спомни си, единствената причина да използваме тази формула, е, че имаме 3 тук и тук, така че то влиза в ролята на а. Ще го запиша, това е нашето а. После в ролята на b се превъплъщава 5x^4. Това тук е нашето b. Това ще бъде равно на а^2 – b^2. Нашето а е равно на 3, така че става 3 на квадрат, минус... b е 5х^4, значи минус (5х^4) на квадрат. Как се опростява това? Това ще е равно на – 3 на квадрат е 9, после минус (5х^4) на квадрат – да видим, 5 на квадрат е 25, после имаме х^4 на квадрат, това става х^4 по х^4, което е х^8. Можем да използваме и свойствата на степените. Това е равно на 5^2 по (х^4)^2. Ако повдигнем нещо на степен, а после го повдигнем на друга степен, умножаваме степените. И сме готови. Да видим друг пример. Да кажем, че те питам колко е (3у^2 + 2у^5), по (3у^2 – 2у^5). Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно да го решиш. Добре, ще го направим по същия начин. Както винаги, можеш да разкриеш скобите, както правехме в началото. Но може да разпознаеш, че тук имаме (а + b) по (а – b). Значи това ще бъде нашето а^2. Колко е (3у^2) на квадрат? Става 9у^4, минус b на квадрат. Колко е (2у^5) на квадрат? 2 на квадрат е 4, у^5 е равно на у на степен (5 по 2), това става у на 10 степен. И повече не може да се опростява. Няма еднакви членове, които да събираме. Значи и този пример е готов.