Разлагане чрез деление на многочлени

"Даден е многочленът р(х) = 4х^3 + 19х^2 + 19х – 6 и е известно, че той се дели на (х + 2). Преобразувай многочлена р(х) като произведение на линейни множители." Постави видеото на пауза и опитай да го решиш самостоятелно. Добре, да го направим заедно. Ако не е дадена втората част от информацията, че е известно, че изразът се дели на (х + 2), тогава нямаше да е лесно да разложим този многочлен. Но понеже знаем, че той се дели на (х + 2), тогава можем да разделим многочлена на този израз и да видим какво ще се получи, а после да решим дали можем да разлагаме след това. Да го направим. Да разделим многочлена на (х + 2). Значи 4х^3 + 19х^2 + 19х – 6. Правили сме това вече много пъти. Разглеждаме членовете с най-високи степени. х се съдържа в 4х^3 4х^2 пъти, което поставям в колоната за втора степен. 4х^2 по х е равно на 4x^3. 4х^2 по 2 е 8х^2. Сега изваждаме тези от реда над тях. Изваждаме. Имаме 19х^2 минус 8х^2, което дава 11х^2. Пренасям долу 19х. Значи плюс 19х. Отново – гледаме х и 11х^2. х се съдържа в 11х^2 11х пъти. Значи плюс 11х. 11х по х е 11х^2. 11х по 2 е 22х. Изваждаме тези от това, което е в тюркоазено. Имаме 19 от нещо минус 22 от него, това е –3 от същото нещо. В този случай –3х. Пренасяме долу –6. Разглеждаме х и –3х. х се съдържа в –3х –3 пъти. –3 по х е –3х. –3 по 2 е –6. Сега ако извадим това в червено от това, което е в цикламено, като ще умножим и двете по –1. Всичко се унищожава и няма остатък. Значи можем да представим многочлена р(х) като (х +2) по целия този израз, по (4х^2 + 11х –3). Но още не сме приключили, защото не сме получили произведение на линейни множители. Единият член е линеен, т.е. от първа степен, но (4х^2 + 11х –3) е от втора степен. Трябва да го разложим допълнително. Има няколко начина да направим това. Можем да използваме формула за съкратено умножение, или можем да разложим чрез групиране. За да го разложим чрез групиране – а причината да избера разлагане чрез групиране е, че имаме водещ коефициент, който е различен от 1. Трябва да намерим две числа, чието произведение е равно на 4 по –3. Да намерим две числа – да ги наречем а и b. а по b трябва да е равно на 4 по –3, което е –12. а + b трябва да е 11. Най-добрата ми догадка е, че те трябва да имат противоположни знаци, защото тяхното произведение е отрицателно. Ако имаме отрицателно... ако имаме + 12 и –1, тези числа са подходящи. Ако а е –1 и b е +12, условието е изпълнено. Сега искам да взема члена от първа степен, т.е. 11х, и да го представя като 12х и –1х. Да го направим. Сега се фокусираме върху тази част, (огражда я в червено) а после ще ги събера отново накрая. Мога да преобразувам целия този израз, ограден в червено, като 4х^2, вместо 11х... ще използвам този син цвят, 11х ще разделя на + 12х и после –1х. Сборът им пак дава 11 х. После имаме –3. Сега, да видим, как мога да разложа тези първите два члена? Да видим, мога да изнеса пред скоби 4х. Мога да представя тези два члена като – ако това ти е непознато, преговори си разлагането чрез групиране в Кан Академия. Ако изнесем пред скоби 4х, тук ще ни остане х, после тук ще остане 3. Вторите два члена – ако изнесем пред скоби –1, значи записвам –1, тук ще имаме х + 3. После ако изнесем пред скоби (х + 3) – да го направим. Свършват ми цветовете. Значи изнасяме пред скоби (х + 3) и остава (х + 3) по 4х... Ще запазя същите цветове, за да знаеш кое откъде идва. 4х – 1. Това е едно много цветно решение. И сме готови. Разложихме втората част на тези два множителя. Сега можем да съединим двете части. Можем да преработим р(х) като произведение от линейни множители. р(х) е равно на (х + 2) по (х + 3) по (4х – 1). И задачата е решена.