Деление на многочлени на x (без остатък)

В това видео искам да намерим колко е х^4 – 2х^3 + 5х делено на х. Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно, преди да го решим заедно. Ако искаме да разберем колко е този горния израз, разделен на долния израз – друг начин да разглеждаме това е да попитаме по колко трябва да умножим – значи ще умножим по нещо, ще поставя тук скоби – какво трябва да умножим по х, за да получим х^4 – 2х^3 + 5х. Как можем да решим този пример? Има два начина за това. Единият е да преработим този израз като... ще направя това х в жълто, за да можем да го следим. Можем да преработим израза като 1 върху х по х^4 – 2х^3 + 5х. После можем да умножим всеки член по 1/х, и това на какво е равно? Това ще е равно на х^4... ще напиша това – х^4 върху х, минус 2х^3 върху х, плюс 5х върху х. На какво ще е равен всеки от тези членове сега? х^4 делено на х, ако имаме четири пъти х, умножени едно по друго, и после ако разделим на х, това е равно на х на трета степен. Значи това тук става х на трета степен. Можем да използваме и свойствата на степените. В знаменателя имаме х на първа степен, и можем да намерим разликата на степенните показатели. Имаме една и съща основа, така че това става х на трета степен. После, тази част ето тук, на какво ще е равно това? Това е минус 2 по х^3, делено на х на първа степен. Ще използваме същото свойство, получаваме х на втора степен. Последният член, но не най-маловажният, ако вземем 5х и го разделим на х, ще получим само 5. Можеш да провериш това, разбира се, ако умножиш по х, ще получиш х на четвърта степен, минус 2 по х на трета степен плюс 5 по х. Ще го направя. Ако взема (х^3 – 2х^2 + 5) и умножа по х всеки член в скобите, х по х^3 е х^4. х по –2х^2 дава –2х^3. х по 5 дава 5х. Споменах, че има два начина за решаване. Другият начин, който можем да използваме, е да разгледаме числителя и да опитаме да изнесем пред скоби х, да опитаме да изнесем пред скоби това, което е в знаменателя. Ако направим това – просто ще препиша числителя. Мога да представя х^4 като х по х^3. После мога да представя минус 2х^3 като – ще го запиша по следния начин – като плюс х по –2 х^2. После мога да представя 5х като равно на х по 5. След това ще разделя всичко това на х. Просто преработих този числител, като от всички членове изнесох пред скоби х. Сега мога да изнеса х пред целия израз. Понякога си представям това да изнеса х от целия израз като прилагане наобратно на дистрибутивното свойство. Значи изнасям този х от всички членове, и какво остава? Получаваме х по х^3 – 2х^2 + 5. Направих всичко с един цвят, но се надявам, че можеш да проследиш нещата, плюс 5 и после всичко това делено на х. При условие, че х не е равно на 0, х делено на х е равно на 1, и ни остава това, с което започнахме, или изразът, който имахме от самото начало. Това са двата различни начина. Тук няма нищо сложно. Когато делим на х, все едно казваме: това е същото нещо като да умножим всеки член по 1/х, или същото като да изнесем пред скоби х в числителя и да го съкратим със знаменателя.