Разлагане на множители на полиноми от по-висока степен

В Кан Академия има много уроци, в които разглеждаме разлагането на многочлени. В това видео ще направим още няколко примера за разлагане на многочлени от по-висока степен. Да започнем с малка разгрявка. Да кажем, че искаме да разложим (6х^2 + 9х) по (х^2 – 4х + 4). Постави видеото на пауза и опитай да разложиш израза като произведение от още повече членове. Добре, сега да го направим заедно. Начинът, по който това може би се различава от това, което си виждал/а досега, е, че този многочлен вече е частично разложен. Този многочлен от по-висока степен вече е представен като произведение на два квадратни израза, но както може би виждаш, ние можем да го разложим още повече. Например членовете 6х^2 плюс 9х, и двата израза се делят на 3х. Значи можем да изнесем пред скоби 3х. Това е равно на 3х по... 3х по какво дава 6х^2? 3 по 2 е 6 и х по х е х^2. После 3х по колко е 9х? 3х по 3 е 9х, и сега можем да проверим, че ако умножим по 3х всичко в скобите, ще получим 6х^2 плюс 9х. После какво ще се случи с този втория израз тук? Можем ли да разложим този израз? Може би виждаш, че това е точен квадрат. Може би ще кажеш, че трябва да намерим две числа, чието произведение е 4, а чийто сбор е –4, и може да кажеш, че тези числа са –2 и –2, значи това е (х – 2). Можем да напишем (х – 2)^2 или (х – 2) по (х – 2). Ако това, което направих, ти е непознато, ти препоръчвам да се върнеш и да гледаш видео уроците за разлагане на точен квадрат и другите подобни, а тук сме готови. Мисля, че го разложихме, колкото е възможно. Сега да решим един по-сложен пример с полином от по-висока степен. Да разложим полинома х^3 – 4х^2 + 6х – 24. Както винаги, препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно. Ще ти дам малка подсказка. Можеш да разложиш, като групираш членовете по някакъв начин, което е малко по-лесно, отколкото това, което правехме досега. Когато учихме разлагане чрез групиране, първо гледахме членовете на втора степен, а после разглеждахме средния член, х-члена на квадратния израз, и го разлагахме, така че получавахме четири члена. Тук вече имаме четири члена. Виж дали можеш да се справиш с това. Добре, сега да го решим заедно. Не винаги можем да разложим многочлен от трета степен като групираме, но понякога е добре да го пробваме. Когато видим многочлена, записан по този начин, си казваме: "Добре, х^3 – 4х^2, тук има ли общ множител?" Да, и х^3, и –4х^2 се делят на х^2. Какво ще стане, ако изнесем пред скоби х^2? Получаваме x^2 по (х – 4), а какво да кажем за последните два члена? Има ли общ множител на 6х и –24? Да, и двете се делят на 6. Да изнесем 6 пред скоби. Значи плюс 6(х – 4). Сега вероятно виждаш, че сме близо до финала, когато имаме нещо по (х – 4) и после друго нещо по (х – 4), така че можем, понякога казвам да приложим наобратно дистрибутивния закон за (х – 4), т.е. да изнесем пред скоби (х – 4), и тогава получаваме (х – 4) по (х^2 + 6) и сме готови.