Въведение към тъждества с многочлени

В това видео ще разгледаме някои тъждества при многочлени, и това е просто един засукан начин да кажем, че ще разглеждаме дали даден израз, който съдържа многочлен, е равен на друг израз. Например ти е познато, че х^2 + 2х + 1, виждали сме много пъти подобни многочлени, това е многочлен от втора степен, и може би виждаш, че това ще бъде равно на (х + 1)^2. За всяка стойност на х, изразът х^2 + 2х + 1 е равен на израза (х + 1), повдигнат целия на квадрат. Когато за пръв път видяхме това, когато за пръв път учихме как да умножаваме двучлени, ние повдигахме двучлени на квадрат, но сега ще правим същото нещо с малко по-сложни изрази, неща, които не са прости изрази от втора степен, или поне не са така очевидни. Начинът, по който ще докажем дали това е вярно, е просто като правим алгебрични преобразувания. Например, ако някой те срещне на улицата, и каже: "(m^3 – 1) дали е равно на (m – 1) по (1 + m + m^2)?" Постави видеото на пауза и виж как би отговорил/а на този човек, дали можеш да докажеш, че е равно, или това по същество не е равенство на многочлени. Добре, да го решим заедно. Аз бих разкрил тези скоби, бих умножил това, което е отдясно, така че това ще е равно на... първо, ще умножа m по всеки член от втория израз, значи m по 1 е m, m по m е m^2, а после m по m^2 е m^3. После умножаваме по –1 всеки член в другия израз, така че –1 по 1 е –1, –1 по m е –m, –1 по m^2 дава –m^2. Сега да опростим. Имаме m и –m, тези се унищожават, имаме m^2 и – m^2, които също се унищожават, и ни остава m^3 – 1. Сега, очевидно, m^3 –1 ще е равно на m^3 – 1 за всяка стойност на m, това са идентични изрази. Значи тези многочлени са тъждествено равни. Да решим още един пример. Да кажем, че някой те срещне на улицата и те попита: "Кажи бързо, (n + 3)^2 + 2n дали е равно на 8n + 13, равни ли са тези многочлени?" Постави видеото на пауза и виж дали можеш да отговориш. Добре, сега да го решим заедно. Ще го направим по същия начин. Ще се опитаме да го опростим алгебрично, може би най-лесното нещо, което да направим първо, макар че можеш да го решиш по много начини, но тези членове, които съдържат n, тук има 2n, тук има 8n, ако се отървем от това 2n отляво, ако просто извадим 2n от двете страни на равенството, ще получим отляво (n + 3)^2, а отдясно ще получим 6n, което се получи от 8n – 2n, плюс 13. Колко е (n + 3)^2? Това е равно на n^2 плюс 2 по 3, по n. Ако това, което направих, ти е непознато, ти препоръчвам да гледаш видео уроците за повдигане на квадрат на двучлени, но това ще бъде плюс 6n, плюс 3^2, което е 9, и това дали ще е равно на 6n + 13? Това все още изглежда малко странно, затова да го преобразуваме алгебрично. Да видим, ако извадим 6n от двете страни, да видим какво ще получим? Отляво, ще имаме само n^2 плюс 9, а отдясно получаваме 13. Дали има стойности на n, за които това не е вярно? Да, възможно е. Можем да намерим много стойности на n, за които това равенство може да не е вярно. Ако n е 0, това няма да е вярно. Ако n е 1, това също няма да е вярно. Ако n е 2, това ще е вярно. Но ако n е 3, това няма да е вярно. Ако n е 4, 5 и т.н. по същество за повечето стойности на n, това няма да е вярно. За да бъде това тъждество на многочлени, равенството трябва да е изпълнено за всички стойности, които са допустими стойности, за които можем да сметнем този израз по отношение на въпросната променлива. Значи това тук не е тъждество на многочлени, и сме готови със задачата.