Въведение към нули на многочлени

Нека е даден многочленът р(х), който можем да разложим, и можем да представим във вида (х – 1) по (х + 2) по (х – 3) по (х + 4). Искаме да намерим нулите на този многочлен, Тук може да попиташ: "Какво представляват нулите на този многочлен?" Това са стойностите на х, за които този многочлен е равен на нула. Друг начин да си го представим, е, за кои стойности на х многочленът р(х) е равен на нула. Друг начин да го разглеждаме е за кои стойности на х този израз ще бъде равен на нула. Значи за кои стойности на х (х – 1)(х + 2)(х – 3)(х + 4) е равно на нула. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да помислиш над този въпрос, преди да решим примера заедно. Ключовото нещо тук е, че ако имаме произведение от няколко израза, ако някой от тях е равен на нула, няма значение каква е стойността на другите членове, защото нула по всяко число дава нула. Казано по-засукано това е правилото за умножение по нула. Но то означава просто, че ако намерим стойност на х, за която някой от тези изрази е равен на нула, то тогава целият израз ще е равен на нула, това ще направи цялото произведение равно на нула. Значи нулите на многочлена са такива стойности на х, за които (х – 1) е равно на нула. Ние знаем за коя стойност на х може да се случи това. Ако х е равно на 1, ако тук добавим 1 към двете страни, х ще е равно на 1, значи х = 1 е нула на този многочлен. Друг начин да формулираме това е, че р(1), когато х е равно на 1, тогава целият многочлен ще бъде равен на 0. Откъде знаем това? Ако тук заместим с 1, този израз ето тук, (х – 1) ще бъде равен на нула. Значи ще имаме нула по всички тези други неща, което дава нула. По същата логика можем да намерим кои са другите нули на многочлена. Кога тази част може да е равна на нула? За коя стойност на х (х + 2) е равно на нула? Когато х е равно на –2, (х + 2) ще е равно на нула. Значи х = –2 е друга нула на многочлена. И можем да продължим така. Кога (х – 3) ще е равно на 0? Когато х е равно на 3, тогава (х – 3) ще е равно на 0. Тогава този целият израз ще е равен на нула. И последно, но не по значение, кога (х + 4) ще е равно на нула? Когато х е равно на –4. Ето така намерихме четири нули за този многочлен, когато х е равно на 1, тогава многочленът е равен на 0, когато х е равно на –2, многочленът е равен на 0, когато х е равно на 3, многочленът е равен на 0, и когато х е равно на –4, многочленът е равен на 0. Едно от интересните неща за нулите на многочлените е, че можеш всъщност да начертаеш как би изглеждала графиката. Например, знаем, че този многочлен ще има стойност, когато х приеме стойността на тези нули. Ще начертая една груба скица ето тук. Това е оста х, това е оста у. Да видим, х = 1, ще го направя по следния начин – имаме едно, две, три и четири. После имаме минус едно, минус две, минус три, и накрая, но не по значение, минус четири. Знаем, че нашият многочлен р(х) ще е равен на 0, когато х е равно на 1. Значи ще пресича оста х ето тук. Ще е равен на нула, когато х е равно на –2, това е ето тук. Когато х е равно на три, пресича ето тук. И х равно на –4. Ние не знаем как изглежда точно графиката само въз основа на това. Можем да заместим с други стойности, за да видим дали е над оста х, или е под оста х, когато стойностите на х са по-малки от –4. Можем да заместим с различни стойности, но ние знаем, че графиката пресича оста х в тези точки. Може да изглежда приблизително така, това е много груб чертеж. Може да изглежда приблизително така, няма как да знаем, ако не свършим още малко работа. Но аз предварително разгледах как изглежда графиката, на сайта на Desmos построих графиката и както виждаш, тя изглежда точно така, както очакваме. Графиката на този многочлен пресича оста х при х = –4... ще използвам различни цветове, пресича оста х при х = –4, това е тази нула ето тук, пресича я при х = –2, това е тази нула тук, при х = 1, ето тук и после при х = 3, ето тук. В следващи видео уроци ще разгледаме това по-задълбочено.