Въведение към осева симетрия на функции

Това е снимка от екран с графичния онлайн калкулатор Desmos, който можем да намерим на сайта Desmos.com. Препоръчвам ти да го използваш след този урок, или даже докато тече това видео. Днес ще разглеждаме осева симетрия на функции. Да започнем с няколко примера. Да кажем, че имаме функцията f(х), която е равна на корен квадратен от х. Тя изглежда ето така. Доста логично. Сега да вземем друга функция g(х), като първоначално ще я направя също корен квадратен от х. Не е изненада, че графиката на g(х) е точно върху графиката на f(х). Но какво ще стане, ако вместо корен квадратен от х... ако тук поставим знак минус отпред, ето така? Според теб какво ще се случи, когато направя това? Да проверим. Когато поставя знак минус, изглежда, че получаваме симетричен образ на графиката спрямо оста х. Сега, вместо да я правим по този начин, ако имаме друга функция h(х) която в началото ще я направя идентична на f(х). Отново, това е ето тук. Това е графиката на f(х). Вместо да поставим знак минус пред знака за корен, какво ще стане, ако поставим минуса под знака за корена? Ако заместим х с минус х? Какво мислиш, че ще се случи? Да опитаме. Ако заместим х с –х, това измества функцията над оста х. Постави видеото на пауза, и помисли за това как отразихме функцията спрямо двете оси. Добре, можем да... свършват ми буквите... да вземем функцията – не знам, може би да е k (х), равно на... ще поставя знака минус пред знака за корен, а после следва квадратния корен, ще поставя знак минус под корена. Обърни внимание, че тук графиката се обърна спрямо двете оси – и спрямо оста х, и спрямо оста у до ето тук. Защо се случи това? Да започнем с g(х). Когато поставим знак минус отпред, когато направим отрицателни всички стойности в този израз, който определя функцията, каквато и стойност да сме въвеждали във функцията преди, сега винаги ще получим обратната стойност. Когато х е нула, получаваме нула. Когато х е 1, вместо 1 сега получаваме противоположното, получаваме –1. Когато х е 4, вместо да получим плюс 2, получаваме минус 2. Когато х е 9, вместо плюс 3 получаваме минус 3. Надявам се, че това изглежда логично защо поставянето на знак минус пред целия израз ще изобрази графиката от другата страна на оста х. А какво да кажем за случая, когато заместваме х с минус х? Един начин да го разгледаме е, че каквато стойност въведем тук, тук ще бъде съответната стойност със знак минус на тази, за която изчисляваме корен квадратен, а ние знаем, че функцията корен квадратен не е дефинирана за отрицателни стойности. Но когато х е минус едно, оригиналната функция не е дефинирана за тази стойност, за х равно на –1, но ако поставим минус на –1, сега вече можем да намерим корен квадратен от 1. Ето защо сега функцията е дефинирана. Каквато стойност функцията би приела за дадена стойност на х, сега приема стойността за стойността на х с обратен знак, за отрицателната стойност на това х. Ето защо имаме симетричен образ от другата страна на оста х. Това се случва при много видове функции. Можем да видим това не само при функцията корен квадратен. Да проверим с друга функция. Нека е дадена функцията е на степен х. Ето така. Това е класическа показателна функция. Нека функцията g(х) да е равна на –е на степен х. Това, което очакваме да се случи, е графиката да отиде от другата страна на оста х. Това е "–е" на степен х и се случва точно това, което очакваме. А как може да се премести от другата страна на оста у? Да вземем друга функция h(х). Тя ще е равна на е на степен – тук вместо х в степенния показател ще поставим –х. И се получи точно това. Обърни внимание, че графиката е от другата страна на оста у. И в двата примера, които току-що показах, имахме съвсем прости изрази. Но да си представим нещо малко по-сложно. Нека функцията f(х)... нека тя да представлява многочлен от по-висока степен, нека да е х^3 – 2х^2. Това е хубав пример, и всъщност хайде да добавим още един член. Да стане плюс 2х. Искам да го направя минус 2х. . Искам да бъдат по-изразени тези криви. Да, това е една много интересна графика. Как може да се обърне тя от другата страна на оста х? Начинът, по който мога да направя това, е като дефинирам g(х). Мога да го направя по два начина. Мога да кажа, че g(х) е равно на минус f(х) и получаваме ето това. Това е просто да вземем целия израз и да го умножим по минус 1. Обърни внимание, това е умножение, при което графиката минава от другата страна на оста х. Друг начин да направим това е, вместо това, можем да кажем, че минус х^3 минус 2х^2 и после минус 2х, а после затварям скобите, и получавам същия ефект. А как да я прехвърлим от другата страна на оста у? Вместо да поставяме знак минус на целия израз, можем да заместим х с минус х. Може да стане по следния начин. Можем да кажем, че това е f(–х), което означава, че навсякъде, където има х, сега го заместваме с –х. Обърни внимание, че се случи това, което очакваме. Графиката се прехвърли от другата страна на оста у. Друг начин, по който това можеше да стане, е – само искам да поясня – това е същото като (–х)^3 минус 2 по (–х)^2 минус 2 по (–х). Разбира се, можем да опростим този израз, но обърни внимание, че това е съвсем същият принцип. Ако искаме да обърнем графиката на функцията и през оста х, и през оста у, тук вече сме я прехвърлили през оста у, за да я обърнем през оста х, опа, аз току-що го изтрих – за да я обърнем през оста х... имам някакви проблеми тук... за да я прехвърлим и през оста х, ние трябва – о, вече ми дава скоби, трябва само да поставя отрицателен знак отпред. Значи поставям отпред знак минус и го получаваме. По този начин прехвърляме функцията през оста х и през оста у. Можеш да го направиш в какъвто искаш ред, винаги ще получиш тази зелена крива. Един по-лесен начин да се начертае това е, когато използваме просто минус f от минус х, и ще получим същото. Отиди на сайта на Desmos, поиграй си на него, това е много добър начин да схванеш логиката и да разбереш какво се случва по същество.