Въведение към трансформации на функции

В момента съм на сайта desmos.com, който представлява онлайн графичен калкулатор, и целта на това видео е да изследваме как се случват изместванията на функциите. Как се изместват функциите надясно или наляво, или как се изместват нагоре и надолу? Това, с което ще започнем, е да начертаем една обикновена функция, f(x) равно на х^2. Тя изглежда точно така, както очакваме, а сега да помислим как можем да я изместим нагоре или надолу. Един вариант да я повдигнем нагоре е да направим стойността на f(х) по-голяма, така че можем да добавим някаква стойност, и сега тя изглежда като повдигната с 1. Колкото е бил f(х) преди, сега добавяме 1 към тази стойност, така че графиката се повдига с една единица, много логично. Ако извадим единица, всъщност хайде да извадим 3. Обърни внимание, че сега се измества надолу. Върхът беше точно в началото на координатната система, в точка (0;0), сега е в точка (0; –3), така че беше изместена надолу. Можем да поставим един плъзгач, така че нещата да станат по-очевидни, така че ако просто изместя графиката с някаква променлива k – ще изтрия това тук, този малък долен индекс, който се появи. После можем да добавим тук един плъзгач k, който ще ни позволява да настройваме стойността на k, ето тук k е равно на 1, това е х^2 + 1, и, обърни внимание, че графиката се измести нагоре, а ако увеличим стойността на k, обърни внимание как това повдига графиката нагоре, а ако намалим стойността на k, ако k е нула, графиката се връща там, където върхът е точно в началото на координатната система. Когато намалим стойността на k, това премества графиката надолу. Това е много логично, защото добавяме или изваждаме тази стойност от х^2 така че то се променя, променя се стойността на у и се измества нагоре или надолу. А как можем да я преместим наляво или надясно? Това е интересно, защото за да изместим графиката наляво или надясно, трябва да заменим нашето х с х минус нещо. Да видим какво ще стане. Заместваме х с х минус... да го заместим с (х – 1). Какво ще се случи според теб? Накъде смяташ, че ще се премести графиката – надясно или наляво? Хайде да го заместим. О, това е интересно. Преди нашият връх беше в точката (0;0). Сега върхът е в точка (1;0). Когато заместим х с (х – 1), всъщност се преместваме с една единица надясно. Защо това е логично? Един начин да си представим това, преди да заместим това х с (х – 1), върхът се получава, когато повдигаме нула на квадрат. Сега повдигаме нула на квадрат, когато х е равно на 1. Когато х е равно на 1, тук имаме 1 минус 1, получаваме 0, и после повдигаме на квадрат нула. Така че е логично, че те имат сходно поведение на графиката, но сега върхът е при х = 1, както преди, когато х беше нула. Да видим как можем да обобщим това, да заместим друга променлива тук и да добавим плъзгач за h. После можем да видим, че когато h е 0 и k е 0, нашата функция е просто х^2, но когато h се увеличи, заместваме х с х минус по-голяма стойност. Това измества графиката надясно. Когато h намалява, когато става отрицателно, графиката се измества наляво. Ето тук h е равно на –5. Обикновено няма да срещаш х минус –5. Ще го срещаш записано като х + 5. Значи ако заместим х с х + 5, това всъщност измества графиката с 5 единици наляво. Разбира се, можем да изместим графиката и в двете посоки, ето така. Тук я повдигаме нагоре, а после можем да се върнем в положение без изместване по хоризонталата, а после можем да я изместим надясно по този начин. Във всичко, което току-що направихме, използвахме х^2 като основна функция, но можем да използваме най-различни функции. Можем да вземем функция от абсолютната стойност. Да разгледаме функцията от абсолютната стойност, което винаги е забавно. Вместо да повдигаме на квадрат всичко това, сега просто ще имаме абсолютната стойност. Ще поставя тук абсолютната... опа... Абсолютна стойност, ето така. Можем да започнем от... ще направя и двете променливи равни на нула, така че това ще е просто графиката на функцията f(х) равно на абсолютната стойност на х. Нека кажем, че искаме да изместим графиката така, че тази точка ето тук, това е началото на координатната система, да стане (–5;–5), което е ето тук. Това, което правим, е да заместим х с х + 5, или поставяме тази променлива h на –5 ето тук, защото – забележи – ако заместим h с –5 вътре в абсолютната стойност, ще получим х + 5, а после, ако искаме да я изместим надолу, просто намаляваме стойността на k, а ако искаме да я свалим надолу с 5, просто я намаляваме с 5, и получаваме нещо подобно. Препоръчвам ти да отидеш на сайта desmos.com. Опитай самостоятелно, просто си поиграй с тези функции, за да добиеш представа как и защо графиките се изместват нагоре или надолу, когато добавим константа, и защо се изместват наляво или надясно, когато заместим х с х минус... в този случай с х – h, но това, по същество, е х минус някаква константа.