Пример: Построяване на графиката на функцията y=3⋅sin(½⋅x)-2

Трябва да построим графиката на функцията у равно на три по синус от 1/2 по х, минус 2, като използваме интерактивния инструмент. Това е интерактивният инструмент, който ще намериш на сайта на Кан Академия. Може би първо трябва да обясня как работи той. Тази точка ето тук помага да се дефинира средната права, тази права, около която, както се досещаш, осцилира графиката на функциите синус и косинус, а след това можеш да дефинираш съседната точка на екстремум, минимална или максимална точка на графиката на твоята функция. Да видим как ще построим тази графика, и както винаги ти препоръчвам да поставиш видеото на пауза и да помислиш върху това самостоятелно. Първото нещо, което бих искал да направя, е да помисля как изглежда основната функция, ако това беше у равно на синус от х, каква щеше да е графиката? Синус от нула е нула. Синус от пи върху 2 е 1. Синус от пи отново е нула. Това е графиката на функцията синус от х. Сега да видим какво е различно в нашата функция. Първо това не е синус от х, а е синус от 1/2 по х. Каква ще бъде графиката, ако имаме само синус от 1/2 по х? Единият начин да разсъждаваме е, всъщност има два начина да разсъждаваме, това тук е просто мащабиращ коефициент на члена х, който ни показва колко бързо нарастват аргументите на функцията синус. Сега скоростта им на нарастване е наполовина по-малка. Единият начин да разсъждаваме за това е, че периодът сега ще е два пъти по-дълъг. Значи единият начин да разсъждаваме е, вместо да достигнем следващия максимум при пи върху 2, ще го достигнем при х равно на пи. Можеш да провериш това. Когато х е равно на пи, това тук става 1/2 по пи, а синус от 1/2 по пи е равно на 1, разбира се. Друг начин да разсъждаваме е, може би познаваш формулата, въпреки че аз винаги предпочитам да си представя как се извеждат формулите, но за да определим периода на функциите синус или косинус, взимаме 2 по пи и го разделяме на коефициента пред х. Значи 2 по пи, делено на 1/2 е равно на 4 по пи. Сега виждаш, че периодът тук – отиваме нагоре, а после обратно където бяхме при 4 по пи. Това е логично, защото ако просто тук имаме коефициент 1, периодът ще бъде 2 по пи радиана. Правиш една обиколка около единичната окръжност, можеш и така да си го представиш. Значи това тук е графиката на синус от 1/2 по пи. Обаче ние търсим 3 по графиката на синус от 1/2 по х, или 3 пъти синус от 1/2 по х. Значи нашата амплитуда ще бъде три пъти по-голяма. Вместо максималната точка да бъде при 1, сега тя ще бъде при 3. Друг начин да разсъждаваме за това е, че се издигаме 3 пъти повече над средната права и слизаме 3 пъти повече под нея. Ето това тук е графиката на функцията 3 по синус от 1/2 по х. Остана да направим още едно нещо – тук имаме минус 2. Изваждането на 2 ще измести цялата графика надолу с 2 единици. Просто изместваме всичко надолу. Ще изместя тази точка надолу с 2 единици, ще изместя и тази точка надолу с 2 единици. И решихме задачата. Обърни внимание, че периодът отново е 4 по пи. Амплитудата – колко се отдалечава графиката над и под средната права – тя отново е 3 единици. И сега имаме това минус 2. Друг начин да разсъждаваме за това е, че когато х = 0, този първият член целият ще бъде нула, тогава у ще е равно на –2. И задачата е решена.