Брой на графичните решения на система от уравнения

За да не ни трови живота алгебрата, и най-вече когато нямаме говорещи птици, които да ни помагат, трябва да можем да разпознаваме кога нещата стават странни при нашите системи от уравнения. Когато имаме случаи, съдържащи безкраен брой решения или въобще няма решения. И само като малък преговор какво може да се случи – съществуват три възможни варианти. Имаме първия вариант, който прилича на това, с което започнахме, където имаме две системи, които се пресичат на едно място. И при това положение е налице едно решение. А ако трябва графично да го представим, имаме едно решение там, едно решение. Което означава, че двете условия са валидни и са независими едно от друго. Те не са от един и същ вид, валидни и независими. Тогава идва другия вариант, където са валидни, пресичат се, но по същество представляват една и съща права. Пресичат се във всяка точка. Ето това е едната зависимост от едното от уравненията, а другото, ако го погледнем и го представим графично, виждаме всъщност същото. Така че тук са налице безброй много решения. Логично е, тук реално имаме решения, но уравненията са зависими. Това е една зависима система. И следва последният вариант, когато... имаме две измерения... Последният вариант е, когато нашите две зависимости не се пресичат помежду си. Едното може да изглежда така, а другото може да изглежда така. Те имат абсолютно същия наклон, но имат различни пресечни точки с Оу. Така че тук няма решение, те никога не се пресичат. Такава система се нарича неопределена. Неопределена. И ако помислим за това какво би станало, просто да помислим какво се случва тук. Тук имаме различни наклони. Различни наклони. И ако помислим малко, две различни прави с различни наклони, определено ще се пресекат само на едно място. Тук наклонът е еднакъв и точката на пресичане с Оу е същата, така че имаме безброй много решения. Тук имаме еднакъв наклон, но различни точки на пресичане с Оу и не получаваме решения. Така че, когато решаваме системи, в които нещата се получават малко странни, това е, когато имаме един и същ наклон. И ако помислим за това какво определя наклона, и аз те насърчавам да пробваш това с различни уравнения... ... ако имаме някакви стойности за х и у, или стойности за а и b, или имаме нашите променливи от една и съща страна на уравнението, където отношението между тях е едно и също. Така че имайки това предвид, нека видим какви решения можем да намерим. Нека свалим това. Казва се: "Определете колко решения съществуват за системата уравнения." Имаме 10х – 2у = 4, и 10х – 2у = 16. Въз основа на това, което говорихме преди малко, стойностите на х и тези на у са от една и съща страна на уравнението, и отношението е 10 към (–2). Отношението е еднакво. Така че тук ще се случи нещо странно. Но когато имаме същия вид комбинация от стойности на х и на у, първия път получаваме 4, а втория получаваме 16. Това изглежда малко странно. Друг начин, по който да помислим, е когато имаме еднакви стойности на х и на у, но сме получили различно число от дясната страна. И ако трябва да опростим, а и дори можем да погледнем подсказките, за да видим какво се казва, ще видим, че накрая ще имаме еднакъв наклон, но различни пресечни точки с Оу. Така че тук преобразуваме уравненията и виждаме, че синята права, е у = 5х – 2, а зелената е у = 5х – 8. Същият наклон, същото отношение между стойностите на х и на у, но тук имаме различни стойности. Имаме различни пресечни точки с Оу. Така че тук нямаме решения. Това е този вариант тук, ако трябва да го представим графично. И няма решения – проверяваме отговора. Нека отидем на следващия въпрос. Нека погледнем този въпрос тук. Имаме –5 пъти по х и –1 по у. Имаме 4 пъти по х и 1 път у. Сякаш отношението, ако погледнем стойностите на х и на у само от лявата страна тук, изглежда, че отношенията между стойностите на х и на у са различни. Имаме 5х за всяко едно у, или можем да кажем –5х за всяко –1у, а тук имаме 4х за всяко 1у. Така че това е различно отношение. И веднага можем да кажем, че тези двете ще се пресекат в точно една точка. Ако преработим уравнението във вида по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу, ще видим, че ъгловите коефициенти (наклоните) тук са различни. И можем да кажем, че тук има едно решение, и можем да проверим отговора. Както и да погледнем решението, за да проверим. Препоръчвам ти да го направиш. Синята права, ако я представиш като уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу, става –5х + 10, а зелената права в същия вид става 4х – 8. Така имаме различни ъглови коефициенти (наклони), те определено ще се пресекат само на едно място. Ще имаме едно решение. Нека пробваме с друг пример. Тук имаме 2х + у = –3. Това е повече от ясно, имаме 2х + у = –3. Това са абсолютно еднакви уравнения. Един вид това е валидна информация, определено имаме налице решения. Но тук има безброй много решения. Това е една зависима система. Тук има безброй много решения и можем да проверим отговора. Нека разгледаме още един пример, защото това беше лесно. Това тук е нещо интересно, имаме го в различни форми. 2х + у = –4, у = –2х – 4. Нека обърнем внимание на първото синьо уравнение и го представим във вида по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу. Ако направим това, ще получим... ако извадим 2х от двете страни, получаваме, че у = –2х – 4, което е абсолютно същото като това уравнение тук. Така че пак е налице същото уравнение. Имаме безкраен брой решения. Проверяваме отговора и можем да погледнем решението тук. Преработваме синьото уравнение във вида по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу и получаваме същото нещо, което видяхме в зеленото уравнение.