Движение по крива: намиране големината на скоростта

Една частица се движи по крива, зададена като х по у равно на 16, така че у-координатата нараства, подчертавам, че нараства, с постоянна скорост от 2 единици на минута. Това означава, че скоростта на изменение на у спрямо времето t, е равна на 2. На какво е равна големината, в единици на минута, на вектора на скоростта на частицата, когато частицата се намира в точката (4; 4), т.е. когато х е равно на 4 и у е равно на 4? Нека да разгледаме задачата. Първо, нека си припомним как ще изглежда векторът на скоростта. Скоростта ще бъде функция на времето. Ще съдържа два компонента, т.е. скоростта на изменение по направлението х, и скоростта на изменение по направлението у. Скоростта на изменение по направлението х ще бъде равна на dx/dt, а скоростта на изменение по направлението у ще бъде равна на dy/dt. Казват ни, че скоростта на изменение dy/dt е постоянна и е равна на 2 единици на минута. Но в задачата не се търси просто вектора на скоростта и компонентите му. Търси се големината, т.е. големината на вектора на скоростта на частицата. Ако имам даден един вектор – нека да се отклоня за малко от условието – да кажем, че е вектор а, който има компоненти b и c. Тогава големината на моя вектор, понякога ще я видиш записана ето така, а понякога с двойни скоби, ето така – ще бъде равна на следното. Получава се директно от Питагоровата теорема. Равно е на квадратен корен от b на квадрат плюс с на квадрат. Квадратен корен от х-компонентата на квадрат, плюс у-компонентата на квадрат. Искаме да намерим големината на вектора на скоростта, т.е. големината на вектора на скоростта на частицата. Ще го запиша като големината на v. Мога дори да го запиша като функция на t. Ще бъде равно на квадратен корен от х-компонентата на квадрат, т.е. скоростта на изменение на х спрямо времето t, на квадрат, плюс у-компонентата, което в нашия случай е равно на скоростта на изменение на у спрямо времето t, на квадрат. Как ще намерим на какво са равни тези два члена? Вече знаем на какво е равна скоростта на изменение на у спрямо времето t. Дадено е, че е постоянна скорост от 2 единици на минута. Вече знаем, че ето този член ще бъде равен на 2. Или целият израз ще бъде равен на 4. Как обаче ще намерим на какво е равна скоростта на изменение на х спрямо времето t? Може да използваме първоначалното уравнение, което описва кривата, и да намерим производната от двете му страни спрямо времето t. След това ще получим уравнение, което включва х, у, dx/dt и dy/dt. Нека го направим. Дадено е, че х по у е равно на 16. Ще търсим производната спрямо времето t, от двете страни на уравнението. Ще използвам различен цвят, за да се отличава. Производна спрямо времето t от лявата страна на уравнението и производна спрямо времето t от дясната страна на уравнението. Отляво изразът представлява произведение от две функции, ако приемем, че х е функция на t и у е функция на t. Ще приложим правилото за намиране производна на произведение и верижното правило. И ще получим следното: производна от първата функция, или производна от х, спрямо х, което е равно на 1, по производната на х спрямо t. Спомни си, че търсим производната спрямо t, а не спрямо х. Умножаваме по втората функция, т.е. по ето тази втора функция. Умножаваме по у. Плюс първата функция, която е равна на х, умножена по производната на втората функция спрямо времето t. Първо, на какво е равна производната на у спрямо у? Равна е на 1. А след това записваме производната на у спрямо t, т.е. dy/dt. Целият този израз е равен на следното. Ще бъде равен на производната на константа, която е равна на 0. Нека да видим, до какво се опростява полученото уравнение. Всъщност, дори не се налага да го опростяваме допълнително. Може директно да заместим известните ни стойности, за да намерим dx/dt. Знаем, че dy/dt е равно на 2, което е константа. Искаме да намерим големината на вектора на скоростта на частицата, когато тя се намира в точката (4; 4), т.е. когато х е равно на 4... х е равно на 4 и у е равно на 4. у е равно на 4. В момента изглежда малко объркано, но разполагаме с уравнение, което може да решим, и което съдържа само едно неизвестно. И това е скоростта на изменение на х спрямо времето t, точно когато частицата се намира в точката (4; 4). Ако можем да намерим на какво е равно dx/dt, можем да го заместим ето в този израз и да намерим големината на вектора на скоростта. Нека да го направим. Оттук се получава 4 по dx/dt, плюс... тук имаме 4 по 2, т.е. плюс 8, е равно на 0. Получихме, че 4 по dx/dt е равно на –8. Просто извадихме 8 от двете страни на уравнението. Разделяме двете страни на 4 и получаваме dx/dt е равно на –2. От всичко дотук намерихме, че скоростта на изменение на х спрямо времето t е равна на –2. Заместваме, повдигаме на квадрат, и получаваме 4 в израза под радикала. Следователно големината на вектора на скоростта ще бъде равна на квадратен корен от 4 плюс 4, което е равно на 8. Този израз е равен на същото като 4 по 2, т.е. ще бъде равен на 2 по квадратен корен от 2 единици на минута. Ето това е големината на вектора на скоростта.