Абсолютни минимуми и максимуми (цяло дефиниционно множество)

Дадено е, че функцията g от х е равна на х на квадрат по натурален логаритъм от х. Искам да проверя в настоящия урок дали можеш да намериш абсолютните екстремуми за функцията g от х. Има ли стойности за х, в които функцията g достига до абсолютен максимум или до абсолютен минимум? Понякога ги наричаме глобален максимум или глобален минимум. Първото нещо, върху което искам да помисля, е какво е дефиниционното множество на функцията g. Знаем, че за натурален логаритъм от х изходната стойност трябва да е по-голяма от 0. Следователно дефиниционното множество са всички реални числа, които са по-големи от 0. Значи х следва да бъде по-голямо от 0. Натурален логаритъм от 0 не е дефиниран, защото няма степен, на която да повдигнем числото е, за да получим 0, а натурален логаритъм от отрицателни числа не е дефиниран. Следователно това е дефиниционното множество. Дефиниционното множество са всички реални числа, които са по-големи от 0. Следователно абсолютните екстремуми трябва да принадлежат на дефиниционното множество. За да ги намерим, нека да видим дали може да намерим локалните екстремуми и да проверим кои от тях са добри кандидати за абсолютни есктремуми. Може да намерим локалните екстремуми като разгледаме критичните точки, или критичните стойности. Нека да намерим производната на функцията g. За g' ще използвам нов цвят. Добре, g' от х е равно на... Тук може да използваме правилото за намиране производна на произведение. Производната на х на квадрат, която е 2 по х, умножено по натурален логаритъм от х, плюс х на квадрат по производната от натурален логаритъм от х, която е равна на 1/х. Мога просто да го запиша по следния начин. х на квадрат по 1/х. Предполагаме, че х е положителна стойност. Следователно това просто ще бъде равно на... Всъщност дори няма нужда да правя това предположение, относно това, което искам да направя. х на квадрат, разделено на х, просто ще бъде равно на х. Добре. Ето това е производната g'. Нека сега да потърсим критичните точки. Критичните точки са там, където производната... те са част от дефиниционното множество... т.е. следва да удовлетворяват изискването х да е по-голямо от 0, така че първата производна или не е дефинирана, или е равна на 0. Нека първо да помислим кога g' ще бъде равна на 0. Нека да я приравним на 0. 2 по х, по натурален логаритъм от х, плюс х е равно на 0. Може да извадим х от двете страни на уравнението и ще получим 2 по х, по натурален логаритъм от х, е равно на минус х. Разделяме двете страни на х, което може да направим, защото знаем, че х не е равно на 0. Дефиниционното множество е х по-голямо от 0. Следователно ще се получи... Всъщност нека да разделим двете страни на уравнението на 2 по х. Получава се натурален логаритъм от х е равно на минус 1/2. Минус х, разделено на 2 по х, е равно на минус 1/2. Може да кажем, че х е равно на...Числото е на степен минус 1/2 е равно на х. Припомни си, че натурален логаритъм е просто логаритъм с основа числото е. Следователно х е равно на е на степен минус 1/2, което може да запишем и по следния начин. е на степен минус 1/2. или 1 върху квадратен корен от е. Това е точка, в която функцията g, т.е. първата ѝ производна, е равна на 0. Това е критична точка или критична стойност за първоначалната функция g. И това е единственото място, където g' е равно на 0. А има ли точки, в които g' не е дефинирана? И това трябва да са точки от дефиниционното множество. Нека да видими. Кога този израз няма да е дефиниран? 2 по х и х може да се изчислят за всяка стойност на х. Натурален логаритъм от х, още веднъж, е дефиниран само за стойности, които са по-големи от 0. Но това вече е определено от дефиниционното множество, а в него, т.е. за всяка точка от дефиниционното множество производната всъщност ще бъде дефинирана. Като вземем това предвид, нека да проверим какво се случва от всяка страна на тази критична точка. От всяка страна на тази критична точка. Мога да начертая една малка числова ос ето тук, която да ни помогне да го онагледим. Ако това тук е минус 1, това е 0. Това тук е е на степен...Ще бъде равно на 1 върху...О, това ще бъде равно на малко по-малко от 1. Нека да видим. Защо не означим 1 ето тук, а след това 2 ето тук. Сега имаме критична точка в точката 1 върху квадратен корен от е. Нанасяме го ето там. 1 върху квадратен корен от е. Знаем, че функцията е дефинирана за всички стойност на х, които са по-големи от 0. Нека да разгледаме интервала между 0 и тази критична точка. Точно ето тук. Това е отвореният интервал от 0 до 1 върху квадратен корен от числото е. Нека да проверим дали g' е положителна или отрицателна в този интервал. След това нека помислим и за стойностите на х, по-големи от 1 върху квадратен корен от е. Последното е интервалът от 1 върху квадратен корен от е до плюс безкрайност. Следователно нека да изберем стойност, която се намира в рамките на този жълт интервал. Нека да опитаме с g' от... Не знам. Нека да опитаме с g' от 0,1. g' от 0,1 определено принадлежи на този интервал. Ще бъде равно на 2 по 0,1, което е равно на 0,2, умножено по натурален логаритъм от 0,1 плюс 0,1. Нека да видим. Това ето тук ще бъде отрицателна стойност. Всъщност ще бъде доста... Определено ще бъде по-голяма от минус 1, защото е на степен минус 1 просто ще се получи... Нека да видим. е на степен –1 е равно на 1/е. Следователно това е равно на 1/2,7. Тогава 1/2,7 ще бъде равно приблизително на 0,3 или 0,4. Нека да видим кога ще се получи 0,1. Това ще бъде приблизително равно на 0,3 или 0,4. За да се получи 0,1, трябва да изберем по-голямо отрицателно число. Тоест, бих могъл да кажа, че това ще бъде по-малко от –1. Тогава, ако това е по-малко от –1, и го умножим по 0,2, то ще се получи отрицателна стойност, която е по-малка от минус 0,2 и ако добавя 0,1 към нея, то отново ще се получи отрицателна стойност. Следователно в този жълт интервал g' от х е по-малко от 0. И така би следвало да бъде. Можех да използвам калкулатор. Можех да взема един калкулатор и да го изчисля много по-лесно. Получи се, че g' от х е по-малко от нула в рамките на този интервал. Нека сега да проверим какво се случва в синия интервал. Това ще бъде по-лесно. Може просто да изберем числото 1. Тогава g' от 1 е равно на 2 по натурален логаритъм от 1 плюс 1. Натурален логаритъм от 1 е равно на 0. Тогава целият този израз е равен на 1. Следователно в рамките на този син интервал - избрах точка от него - g' от х ще бъде по-голямо от 0. Тогава изглежда, че първоначалната функция е намаляваща от 0 до 1 върху квадратен корен от е, а след това е нарастваща. И е нарастваща за всяка стойност на х, която е по-голяма от 1 върху квадратен корен от е. Следователно функцията ще достигне... ако е намаляваща в този интервал, а нарастваща след това – до точка на глобален минимум, или абсолютен минимум в точката х равно на 1 върху квадратен корен от е. Нека да го запиша. Достигаме до абсолютен минимум в точката х равно на 1 върху квадратен корен от е. А функцията няма абсолютен максимум. Ако разглеждаме стойностите над 1 върху квадратен корен от е, то просто следва да помислим какво ще се случи с функцията в този интервал. Това, което знаем, е, че функцията просто продължава да нараства все повече и повече, до безкрайност. Може дори да видиш този израз. х на квадрат просто ще клони неограничено към безкрайност, а натурален логаритъм от х ще нараства по-бавно от х на квадрат, но отново ще клони неограничено към безкрайност. Следователно няма да има абсолютен максимум. Няма точка на абсолютен максимум. Нека сега да разгледаме графиката на функцията g, за да се насладим на това, което току-що направихме аналитично, т.е. без да разглеждаме функцията графично. Аз я погледнах предварително. Нека просто да я копирам и поставя. Това е графиката на първоначалната функция. Както се вижда, функцията достига до тази точка ето тук – това е, когато х е равно на 1 върху квадратен корен от е... но не става ясно като гледаме графиката, че това е тази точка. х е равно на 1 върху квадратен корен от е. Може да видим, че това действително е точка на абсолютен минимум тук, а точка на абсолютен максимум няма. Има произволни високи стойности, до които функцията достига.