If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Диференциално смятане > Раздел 5

Урок 4: Относителен (локален) екстремум
Математика
Диференциално смятане
Анализ на функции
Относителен (локален) екстремум
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)

Класна стая на Google
Изследването на функции е процесът на анализиране на функциите, използвайки първата производна, за да намерим техните екстремуми. Това включва множество стъпки, затова трябва да разгледаме този процес по начин, който ни помага да избягваме вредни пропуски и грешки.
Какво ще стане, ако ти кажем, че ако имаш уравнението на една функция, ще можеш да намериш всичките ѝ точки на максимум и минимум? Ами, вярно е! Този процес се казва изследване на функция или "Правило за определяне точката на екстремум чрез първата производна". Нека го обясним по начин, с който ще избегнем вредните пропуски и грешки.

Пример: намиране на локалните екстремуми на f(x)=x2x−1

Стъпка 1: Намиране на f′(x)
За да намерим локалния екстремум на f, трябва да използваме f′. Затова започваме с диференцирането на f:
f′(x)=x2−2x(x−1)2
Стъпка 2: Определяне на всички критични точки и точките, в които функцията f е неопределена.
Критични точки на функцията f са тези стойности на x от дефиниционното множество на функцията f, за които първата производна f′(x)=0, или за които първата производна f′ е неопределена. Освен тези точки, трябва да потърсим тези точки, в които самата функция f е недефинирана.
Важното нещо за тези точки е, че знакът на f′ трябва да не се променя между две последователни точки.
В нашия случай тези точки са x=0, x=1 и x=2.
Стъпка 3: Анализиране на интервалите на нарастване и намаляване
Това може да се направи по много начини, но ние обичаме да използваме таблици. В една таблица избираме стойност за всеки интервал, който е ограден от точките, които определихме в стъпка 2, и проверяваме знака на производната за тази стойност.
Това е таблицата за нашата функция:
ИнтервалПробна стойност на xf′(x)Заключение
(−∞;0)x=−1f′(−1)=0,75>0f е растяща ↗
(0;1)x=0,5f′(0,5)=−3<0f е намаляваща ↘
(1;2)x=1,5f′(1,5)=−3<0f е намаляваща ↘
(2;∞)x=3f′(3)=0,75>0f е растяща ↗
Стъпка 4: Намиране на екстремуми
Сега като знаем интервалите, в които f расте и намалява, можем да намерим екстремумите. Екстремум е точка, в която f е определена и f′ променя знака си.
В нашия случай:
  • f расте преди x=0, намалява след това и е определена при x=0. Затова f има локален максимум в x=0.
  • f намалява преди x=2, расте след това и е определена в x=2. Затова f има локален максимум в x=2.
  • f е неопределена в x=1, затова няма локален екстремум там.
Задача 1
Джейсън трябвало да намери къде функцията f(x)=2x3+18x2+54x+50 има локален екстремум. Това е неговото решение:
Стъпка 1: f′(x)=6(x+3)2
Стъпка 2: Решението на f′(x)=0 е x=−3.
Стъпка 3: f има локален екстремум в x=−3.
Вярно ли е решението на Джейсън? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не проверим критичните точки

Запомни: Не трябва да приемаме, че всяка критична точка е екстремум. Вместо това трябва да проверяваме нашите критични точки, за да видим дали функцията е определена в тези точки и дали знакът на производната се променя в тях.
Задача 2
Ерин трябвало да определи дали функцията g(x)=(x2−1)2/3 има локален максимум. Това е нейното решение:
Стъпка 1: g′(x)=4x3Ax2−13
Стъпка 2: Критичната точка е x=0.
Стъпка 3:
ИнтервалТестова стойност на xg′(x)Заключение
(−∞;0)x=−3g′(−3)=−2<0g намалява ↘
(0;∞)x=3g′(3)=2>0g се увеличава ↗
Стъпка 4: g намалява преди x=0 и расте след това, следователно има локален минимум в x=0 и няма локален максимум.
Вярно ли е решението на Ерин? Ако не, къде е нейната грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не включим точки, в които производната е неопрелена

Запомни: Когато анализираме интервали на нарастване или намаляване на една функция, трябва да търсим всички точки, в които производната е нула, и всички точки, в които функцията или нейната производна са недефинирани. Ако пропуснем някоя от тези точки, вероятно таблицата със знаците ще бъде грешна.
Задача 3
Джейк трябвало да определи дали функцията h(x)=x2+1x2 има локален максимум. Това е неговото решение:
Стъпка 1: h′(x)=2(x4−1)x3
Стъпка 2: Критичните точки са x=−1 и x=1, а функцията h е недефинирана за x=0.
Стъпка 3:
ИнтервалПробна стойност на xh′(x)Заключение
(−∞;−1)x=−2h′(−2)=−3,75<0h е намаляваща ↘
(−1;0)x=−0,5h′(−0,5)=15>0h е растяща ↗
(0;1)x=0,5h′(0,5)=−15<0h е намаляваща ↘
(1;∞)x=2h′(2)=3,75>0h е растяща↗
Стъпка 4: h расте преди x=0 и намалява след това, следователно h има максимум в x=0.
Вярно ли е решението на Джейк? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да забравим да проверим дефиниционното множество на функцията

Запомни: След като намерим точки, в които функцията променя посоката си, трябва да проверим дали функцията е определена в тези точки. В противен случай това не е локален екстремум.

Упражни изследването на функция

Задача 4
Нека f(x)=x3+6x2−15x+2.
При кои стойности на x функцията f ще има локален максимум ?
Избери един отговор:

Задача 5
Нека g е полиномна функция и нека g′, нейната производна, е дефинирана като g′(x)=x(x+2)(x+4)2.
В колко точки графиката на g има локален максимум ?
Избери един отговор:

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.