Построяване на графики на функции: логаритъм

- Да кажем, че имаме функция f от x, равна на естествения логаритъм на x на червърта плюс 27 И сега искаме да намерим първата и втората производни и да използваме всички възможни техники, които са ни под ръка, за да начертаеме графика без да използваме калкуматор Ако имаме време, ще взема калкулатора и ще проверя, дали отговорът ни е същия Нека най-напред опитаме да намерим първата производна Ще направя това тук Значи, производната на f Ами, взимаме производната отвътре, която е 4x на трета и после умножаваме по производната отвън, по отношение на вътре Значи, производната на естествения логаритъм на x е 1 върху x Значи, производната на това цялото по отношение на този израз вътре ще бъде, по 1 върху 1 върху x на четвърта плюс 27 Ако това ви се струва объркващо, ви предлагам да погледнете клиповете за сложни функции Това е първата производна на функцията ни Мога да препиша това, това е равно на 4x на трета върху x на четвърта, плюс 27 Мога да го запиша и като 4x на трета по x на четвърта, плюс 27 на минус първа Тези три израза са равностойни Това го умножих, можех и да го запиша като отрицателна степен, или пут като дроб с това в знаменателя Всичко това е равностойно Така, това ни е първата производна Нека се заемем с втората производна Изглежда, че това ще бъде малко по-заплетено Значи, втората ни производна е производната от това Можем да използваме правилото за произведение, ще не е равна на производната от първия израз, умножена по втория израз Производната на първия ни израз е, 3 по 4 е 12, 12x на квадрат , просто намаляваме 3 до 1, по втория израз, по x на четвърта плюс 27 на минус 1 и добавяме първия израз (не производната му), значи просто 4x на трета, по производната на втория израз За производната на втория израз, можем да вземем производната на вътрешната част, която е просто 4x на трета, производната на 27 е 0, значи по 4x на трета, по производната на всичко това по отношение на вътрешната част По... взимаме този показател, значи по минус 1, по това цялото, x на четвърта плюс 27 на … намаляме с още едно, значи минус 2 Да видим дали мога малко да опростя този израз Значи, това е равно на 12x на квадрат върху това, x на четвърта плюс 27 и после, да видим, ако умножим, тук ще имаме минус, значи е минус, умножаваме 4 по 4 - 16 16x на трета по x на трета е x на шеста, върху това на квадрат Върху x на четвърта плюс 27 на квадрат Това е просто още един начин да препишем този израз тук, нали ? На минус 2, просто слагаме това в знаменателя и го превръщаме в плюс 2 Същото нещо Сега, както сте виждали от подобни задачи преди, винаги искаме да нагласим тези неща, за да са равни на 0 Искаме да пресметнем за x равно на 0 Ще ни бъде полезно да израсим това като само една дроб, вместо като сумата или разликата на две дроби Това, което можем да направим, е да намерим общ знаменател Така, можем да умножим числителя и знаменателя на този израз по x на четвърта плюс 27 и какво получаваме ? Ако умножим първия израз, по x на четвърта плюс 27, получаваме 12x на квадрат, по x на четвърта, плюс 27 А после в знаменателя имаме x на четвърта плюс 27 на квадрат Всичко, което направих, беше да умножа числителя и знаменателя по x на четвърта плюс 27 Нищо не съм променил И сега идва ред на втория член Минус 16x на шеста върху x на четвърта плюс 27 на квадрат Защо направих това ? Сега имам общ знаменател и мога просто да събера числителите Това ще е равно на... да видим Знаем знаменателя, той е x на четвърта плюс 27 на квадрат Това ни е знаменателя И сега можем да умножим Това е 12x на квадрат по x на четвърта Това на 12x на шеста плюс 27 по 12 Дори няма нужда да умножавам 27 по 12 - Значи, 27 по 12 x на квадрат, просто умножих това 12x на квадрат по 27 и после минус 16x на шеста минус 16x на шеста Това опростява нещата. Да видим дали мога да опростя още повече тук имаме 7x на шеста, тук x на шеста Ще направя това с розово Това е равно на 27 по 12x на квадрат, не искам да пресмятам това засега, по 12x на квадрат и после имаме минус 16x на шеста плюс 12x на шеста Събираме тези двете и получаваме минус 4 12 минус 15 е минус 4, x на шеста, всичко това върху x на четвърта плюс 27 плюс 27 на квадрат И това ни е втората производна Сега сме готови с всички производни и това беше доста заплетена задача И сега можем да решим за когато първата и птората производни са 0 и ще намерим критичните точки, както и ще имаме потенциални инфлексни точки и ще видим какъв прогрес можем да направим оттам нататък Първо, да видим къде първата ни производна е 0 и да намерим критичните точки Или може би къде функцията ни е неопределена Значи, това е равно на 0 Да видим, нали това ще е 0 само ако числителя ни е 0 Всъщност, ако приемем, че става въпрос за реални числа, този член винаги ще е по-голям или равне на 0 за всяка стойност на x, защото имаме четна степен Това никога няма да е 0, нали, защото прибавяме 27 към нещо, което не е отрицателно Значи, това никога няма да е равно на 0 и това Значи, това никога няма да е равно на 0 и това Значи тук нямаме неопределени критични точки, но но лесно можем да направим така, че числителят да е 0 Ако искаме това да ни е 0, казваме, че 4x на трета е равно на 0 и знаем каква стойност на x ще направи това 0 – x трябва да е равно на 0 4 по нещо на трета е равно на 0 - Това нещо трябва да е 0 x на трета трябва да е 0, значи x трябва да е 0 Можем да запишем, f прим на 0 е равно на 0 Значи, 0 е критична точка - Наклонът при 0 е 0 Още не знаем дали това е минимална или максимална стойност, или инфлексна точка - Ще го разгледаме по-добре Всъщност, нека първо видим какви са координатите Координата x е 0 и y е естественият логаритъм ...– ако x е 0, тогава x е просто естественият логаритъм от 27 Нека намерим това. Ще извадя калкулатора Казах, че няма да използвам калкулатор, за да чертая графиката, но мога да използвам обикновен калкулатор Значи, взимам естествения логаритъм от това, нека го наречем 3,3 Търсим само общата форма на графиката Значи, 3,3 - Можем да кажем 2,9 и продължава на расте Значи, това ни е критична точка Наклонът тук е 0 Наклонът е 0 при x равно на 0 Исках да намерим това И сега да видим дали имаме кандидати за инфлексни точки И помнете, потенциални инфлексни точки са точките, в които втората производна е равна на 0 Но ако втората производна е 0, това не ни казва със сигурност, че става дума за инфлексни точки Нека изясним това Ще взема нов цвят Ако x е инфлексия, тогава втората производна на x ще е равна на 0 Защото вдлъбнатостта ще се обръща Промяна в наклона означава, че той преминава от увеличаващ се да намаляващ се, или пък от намаляващ се до увеличаващ се Но ако втората производна е равна на 0, не можем да допускаме, че става дума за инфлексна точка Така, че ще намерим всички точки, за които това е вярно и после ще видим дали дали наистина има промяна в знака на втората производна на тази точка и само ако има промяна в знака, можем да кажем, че имаме инфлексна точка Да видим, дали можем да направим това Така, това, че втората производна е 0, не означава от само себе си, че имаме инфлексна точка Трябва да има втора производна 0 и освен това, когато отидем под и над това x, втората производна трябва всъщност да си промени знака Само тогава Можем да кажем, ако f прим си променя знака около x, тогава x е инфлекция - И ако си променя знака около x, тогава определено ще бъде 0 точно при x, но трябва да се уверим, че функцията е отрицателна преди x и положителна след x, или пък положителна преди x и отрицателна след x Нека проверим това Първо трябва да намерим тези потенциални инфлексни точки Помнете, те са там, където втората производна е равна на 0 Ще намерим тези точки и после ще видим дали знакът в действителност се променя Искаме да намерим къде това нещо тук е равно на 0 И, още веднъж, за да бъде това 0, числителят трябва да е равен на 0 Знаменателят никога не може да е 0 ако имаме реални числа (което мисля, че е валидно допускане) Да видим къде този числител може да ни е 0, за втората производна Да нагласим този числител, 27 по 12x на квадрат минус 4x на шеста, да е равен на 0 Спомнете си, това е само числителят на втората ни производна Всяко x, което прави числителя да е 0, прави и втората производна да е 0 Нека извадим 4x на квадрат Така, 4x на квадрат Сега имаме 27 по, можем да извадим 4 от това 12, ще получим 3 и извадихме x на квадрат, минус, извадихме 4, извадихме x на квадрат, значи имаме x на четвърта е равно на 0 Значи, x-овете, които ще направият този израз 0, ще сменя цветовете, … или 4x на квадрат ще е 0, или 27 по 3 – това ще си го пресметна, 81 20 по 3 е 60, 7 по 3 е 21, 60 плюс 21 е 81 Значи, или 81 минус x на четвърта ще е равно на 0 Всяко x, което изпълни едно от тези условия, ще направи целия израз 0 Защото, ако това е 0, това цялото ще е 0 - - Нека изясня нещата, това тук е 81 Нека решим уравнението Това ще бъде 0 когато самото x ни е 0