Доказателство на специален случай на правилото на Л'Опитал

В това видео ще разгледаме един особен случай на правилото на Лопитал. Това е една по-стегната версия на общия случай, който сме разглеждали. Но си е все така добър и приложим. Причината да разглеждаме този специален случай е поради това, че доказателството му е сравнително разбираемо, и ще стане ясно защо правилото на Лопитал е въобще в сила. И така, специалният случай на правилото на Лопитал представлява ситуация, при която f от а е равно на 0. f прим от а съществува. ... g от а е равно на 0. g прим от а съществува. Ако на тези ограничаващи условия е отговорено, тогава границата, при х, клонящо към а от х върху g от х, ще е равна на f прим от а върху g прим от а. Това е нещо много подобно на общия случай. Само е малко по-стегнато. Приемаме, че съществува дадено f от а. Сега не разглеждаме границата. Приемаме, че f прим от а и g прим от а реално съществуват. Но забележете, че ако тук заместим а, получаваме 0/0. Но ако съществуват производните, можем да изчислим производните в а, и ще получим границата. Така че това много прилича на общия случай на правилото на Лопитал. Нека сега го докажем. А за да го докажем, ще започнем с това отдясно, след което ще покажем, че ако използваме определението за производни, получаваме лявата страна тук. Нека започна. Ще пресметна тук. Така, f прим от а е равно на какво според определението за производни? Ами можем да го разглеждаме като границата при х, клонящо към а, от f от х минус f от а върху х минус а. Един вид това представлява наклон между две точки. Подобно на това, ако имаме функцията f от х така, това е точка а, f от а тук. Това тук е точката х, f от х. Този израз тук представлява наклона между тези две точки. Изменението в стойността на у е f от х минус f от а. Изменението в стойността на нашето f е х минус а. Така че този израз си е наклонът на тази права. И само пресмятаме - нека всъщност тук използвам друг цвят - правата, която свързва тези две точки, това е нейният наклон. Ще го отбележа с бял цвят. Наклона на правата, която свързва онези две точки. И пресмятаме границата, като х все повече се приближава към а. Така че това е още един начин за запис на определението за производна. Това е хубаво. Нека направим същото за g прим от а. f прим от а върху g прим от а ще е равно на оцветеното в оранжево, f прим от а върху g прим от а. Което можем да запишем като границата, при х, клонящо към а от g от х минус g от а върху х минус а. Така, в числителя записваме границата при х, клонящо към а, а в знаменателя е налице границата при х, клонящо към а. Така, това можем само да го препишем. Можем да го препишем като границата при х, клонящо към а, от целия този израз в оранжево. f от х минус f от а, върху х минус а, върху целия този израз в зелено. g от х минус g от а, всичко това върху х минус а. За да опростим, можем да умножим числителя и знаменателя по х минус а, за да се освободим от тези членове х минус а. Нека го направим. Умножаваме по х минус а върху х минус а. Така, в числителя имаме х минус а, и делим на х минус а. Онези се съкращават. Тогава и тези се съкращават. И ни остава това нещо тук да е равно на границата при х, клонящо към а, от... в числителя имаме f от х минус f от а. И в знаменателя имаме g от х минус g от а. Мисля, че се вижда накъде отиват нещата. На какво е равно f(a)? Приели сме, че f от а е равно на 0. Ето защо използваме правилото на Лопитал от началото. f от а е равно на 0, g от а е равно на 0. f от а е равно на 0. g от а е равно на 0. И това се свежда до границата при х, клонящо към а от f прим от х, извинявам се, от f от х, трябва да се внимава. От f от х върху g от х. Така че показахме, че ако f от а е равно на 0, g от а е равно на 0, тези две производни съществуват, тогава изчислените производни при а върху всичко друго ще са равни на границата при х, клонящо към а от f от х върху g от х. Или границата при х, клонящо към а от f от х върху g от х ще е равна на f прим от а върху g прим от а. Е, доста разбираемо доказателство на специалния случай- на специалния случай, не на общия - на Правилото на Лопитал.