Практически пример: Задачи за движение с производни

Една частица се движи по оста х. Позицията на частицата е определена от функцията x от t във всеки момент от време t, по-голямо или равно на 0. Ето тук ни дават функцията х от t. На какво е равна скоростта на частицата v от t в момент от време t равно на 2? Спри видеото и опитай да решиш задачата самостоятелно. Ключовото нещо, което трябва да разбереш, е, че скоростта като функция на времето е производната на функцията на позицията. Следователно скоростта ще бъде равна на следното. Просто ще намерим производната спрямо t от този израз. Производна от t на трета степен спрямо t е равно на 3 по t на квадрат. Ако това не ти е познато, те насърчавам да си преговориш правилото за намиране производна на степен. Производна от минус 4 по t на квадрат спрямо t е равно на минус 8 по t. Производна от 3 по t спрямо t е равно на плюс 3. Производната от константа не се променя спрямо времето, така че е равна на 0. Така намерихме скоростта като функция на времето. Ако искаме да знаем скоростта в момент от време t равно на 2, то просто ще заместим 2 на мястото на t в получения израз. Следователно, ще се получи 3 по 4, т.е. 3 по 2 на квадрат. Получава се 12 минус 8 по 2, т.е. минус 16, плюс 3, което е равно на минус 1. Може би ще кажеш, че минус 1 само по себе си не звучи като скорост. Ако ни бяха дали мерни единици, например, х щеше да е в метри, а t – в секунди. Тогава х ще бъде в метри, както вече споменах, а скоростта щеше да бъде –1 метра в секунда. Може би също така ще попиташ: какво означава знакът минус? Означава, че частицата се движи наляво. Спомни си, че се движим по оста х. Ако скоростта е отрицателна, това означава, че х намалява или се движим наляво. На какво е равно ускорението на частицата в момент от време t = 3? Спри видеото отново и провери дали можеш да отговориш самостоятелно. Тук важното е да разберем, че ускорението е функция на времето. Ще бъде равно на производната от скоростта, което е равно на втората производна на функцията на позицията. Следователно ускорението ще бъде равно на производната на ето този израз. Просто ще се получи производна от 3 по t на квадрат спрямо t, което е равно на 6 по t. Производна от минус 8 по t, спрямо t, което е равно на –8. И производната на константата, която е равно на 0. Тогава се получава 6 по t минус 8. Следователно ускорението на частицата в момент от време t равно на 3, ще бъде равно на 6 по 3, което е 18, минус 8. Тогава ще се получи, че е равно на плюс 10. И после ни питат следното: Каква е посоката на движение на частицата в момент от време t = 2? Вече говорих за това, но все пак спри видеото и провери дали можеш да отговориш самостоятелно. Вече разгледахме знака пред скоростта ето тук. Фактът, че имаме отрицателен знак пред скоростта означава, че частицата се движи наляво. Следователно ще избера този отговор тук. В момент от време t = 3 скоростта на частицата нараства ли, намалява ли, или нито едното? Спри видеото и се опитай да отговориш самостоятелно. Добре, сега следва да бъдем много внимателни. Питат ни дали скоростта на частицата нараства, намалява или нито едното. Тогава просто следва да разгледаме ускорението. Виждаме, че ускорението е положително, тогава знаем, че скоростта нараства. Но не ни питат за скоростта, а за абсолютната ѝ стойност. Припомни си, че абсолютната стойност на скоростта е равна на големината на скоростта. Например, в момент от време t = 2 скоростта е равна на –1. Ако мерните единици бяха метри в секунда, то скоростта щеше да бъде равна на –1 метра в секунда. Абсолютната скорост обаче просто ще бъде равна на 1 метър в секунда. Тук става дума за абсолютна скорост, а не за посока, така че няма да имаме този знак минус тук. Искаме да намерим дали абсолютната скорост нараства, намалява или нито едното. Ако ускорението е положително и скоростта е положителна, това означава, че големината на скоростта нараства. Следователно абсолютната скорост също нараства. Ако скоростта е отрицателна, и ускорението също е отрицателно, това също означава, че абсолютната скорост нараства. Но ако скоростта и ускорението на частицата имат различни знаци, то това означава, че абсолютната скорост намалява. Големината на скоростта намалява. Нека да разгледаме скоростта в момент от време t = 3. За да намерим на какво е равна, просто ще се върнем към този израз. Ще бъде равно на 3 по 9, което е равно на 27, т.е. 3 по 3 на квадрат, минус 24, плюс 3. Следователно целият израз е равен на 6. Може да заявим, че и скоростта, и ускорението имат една и съща посока. И двете са положителни стойности. Скоростта ще нараства и ще става все повече положителна, т.е. големината на скоростта ще нараства все повече. Следователно абсолютната скорост нараства. Ако скоростта беше отрицателна в момент от време t = 3, то абсолютната скорост щеше да намалява, защото ускорението и скоростта щяха да имат различни посоки.