Линейно приближение на рационална функция

Има ситуации, в които имаш някакъв вид функция. Ясно е, че това не е линейна функция. f(x) равно на 1 върху х минус 1. Това е нейната графика или поне част от нея. Но понякога искаш да приближиш до линейна функция, особено около някоя определена стойност. Това, което ще направим, е... Искаме да намерим приближение. Нека го запиша. Търсим приближение за... Търсим линейно приближение, затова ще го направя с права. Искам да намеря линейно приближение на f около... трябва да знаем къде искаме да е приближението... около х равно на –1. Какво искаме да кажем с това? Да разгледаме графиката. На тази крива, когато х = –1, f(–1) е –1/2, което ни води ето тук. Нека използвам по-добър цвят. Искаме да направим приближение с права около това. По същество ще направим приближение с уравнението за допирателна. Допирателната ще изглежда ето така и виждаме, че колкото се отдалечаваме от х равно на –1, приближението става по-зле и по-зле, но ако стоим около х = –1, е добре. Колкото е възможно за линейно приближение или поне в този пример това е доста добро линейно приближение. Когато някой ти каже да намериш линейното приближение на f около х равно на –1, или те питат какво е най-доброто приближение и всичките ти варианти са прави, тогава всъщност се иска да намериш уравнението на допирателната при х равно на –1. Хайде да го направим. За да намерим уравнението на допирателната... Уравнението на права е у = mx + b, където m е наклонът, а b е ордината на пресечната точка с Оу. Това може да се разгледа и по други начини. Може да се разгледа и като права, минаваща през точка, където у минус друго у, което лежи на тази права, е равно на наклона по х минус съответното х едно. Следователно (х1; у1) лежи някъде на тази права. Всъщност понякога записвам този вариант по този начин: у – у1 върху х – х1 равно на b, защото това излиза от тази идея. Виж, ако х1 и у1 са от правата, наклонът между всяка друга точка от правата и тази точка ще бъде наклонът на нашата права. Можем да го разгледаме по всеки от тези начини. Нека първо намерим наклона на допирателната и тук производната ще ни е полезна. Нека запиша пак f(x). Ще го запиша като х минус 1 на степен –1. Така ни става по-ясно, че можем да използваме формулата за производна от степен и малко верижното правило. Производната на f спрямо х е равна на: производната на х – 1 на степен –1 спрямо х минус 1 ще бъде просто... Ще използвам формулата за производна от степен. Ще бъде –1 по х минус 1 на степен –2 и после ще умножим това по производната на х минус спрямо х, което ще бъде просто 1. Производната на х е 1. Производната на –1 е 0. Тук можем да кажем по 1, ако искаме, а може и да не го записваме, защото стойността не се променя. Нека пресметнем това при х равно на –1. f прим от –1 е равно на: Мога да запиша този минус така. –1 върху –1 минус 1 на квадрат. Това долу ще бъде –2, следователно това е равно на –1/4. Наклонът на допирателната е... Мога да го запиша така: m е равно на –1/4. Сега само трябва да запишем уравнението му. Вече знаем, че х1 и у1 лежат на правата. Всъщност искаме да използваме точката, в която х е равно на –1. Знаем, че точката (–1;... Можем да го запишем тук. f(–1) е –1/2, 1 върху –1 минус 1, което е –1/2. Следователно знаем, че (–1; –1/2) лежи на кривата и че е част от нашата права. Това е точката, в която допирателната и кривата се пресичат. Сега можем да използваме някое от тези, за да запишем уравнението на правата. Можем да запишем у минус у1, следователно минус –1/2 ще бъде равно на нашия наклон –1/4... просто използвам уравнението за права, минаваща през точка... равно на наклона по х – х1. х минус нашата х координата, която знаем, че лежи тук. Следователно минус –1. Нека сега запиша всичко това с неутрален цвят. Това ще бъде у плюс 1/2 равно на... Това тук ще бъде плюс и мога да разкрия скобите. Получаваме –1/4х минус –1/4 После мога да извадя 1/2 от двете страни и получавам, че у е равно на –1/4х... После, щом вече изваждам 1/4 и извадя още 1/2, ще получа –3/4. –3/4. Това доста се доближава до това, което начертах тук горе. Това би трябвало да пресича оста у в –3/4. Готово, тази права, а можем да кажем и това уравнение ще бъде едно много добро линейно приближение, колкото е възможно за линейно приближение, на тази нелинейна функция около х равно на –1. Може да си кажеш: "Ами, защо просто не искаха да намеря уравнението на допирателната при х равно на 1". Можеха, но има малко допълнителна мисловна дейност така. Добре, можем да използваме уравнението на допирателната, за да намерим приближение на тази функция около х равно на –1.