Решен пример: метод на Ойлер

След като се запознахме с метода на Ойлер, нека проверим с едно упражнение математическото ни разбиране за него или поне процеса на използването му. Условието е: "Реши диференциалното уравнение: производната на у по отношение на х е равна на 3х – 2у. Нека у = g (х ) удовлетворява диференциалното уравнение с начално условие g(0) е равно на k, където k е константа. По метода на Ойлер, започвайки от х = 0 с големина на стъпката 1, получаваме приближено решение, че g от 2 е приблизително 4,5. Намери стойността на k." Та така, тук се казва: "Хей, ще започнем с началното условие, където х = 0, у = k и ще използваме Метода на Ойлер с големина на стъпката 1." Та по същество ще използваме, ще увеличаваме веднъж от 0 до 1, и след това от 1 до 2. И тогава ще получим приближено решение от 4,5. И така, имайки предвид, че започнахме от k, трябва да можем да определим колко е било k, за да получим g(2) да бъде приблизително равно на 4,5 Така че с това те насърчавам да спреш видеото и да се опиташ да направиш това самостоятелно. Предполагам, че опита да решиш това самостоятелно. Сега можем да го направим заедно. И ще направя същото, което направихме в първото видео за метода на Ойлер. Ще направя тук една табличка... ... нека начертая табличка. (Бих могъл да начертая и по-права линия. Тази е само незначително по-права, но ще свърши работа.) Та нека направим тази колона за х, ще си оставя малко място за у, мога да направя някои изчисления тук, у и след това dy/dx. Сега можем да започнем с нашето начално условие. При x=0, y=k. При x=0, y=k. И така, какво ще бъде нашата производна в този случай? dy/dx е равно на 3x – 2y. Така че в този случай това ще е 3*0 – 2k, което е равно точно на –2k. А сега можем да увеличим с още една стъпка. Имаме размер на стъпката 1, така че при всяка стъпка ще увеличаваме x с едно, и така сега започваме с 1. На колко ще е равно сега нашето ново y? Ако увеличим х с 1, и нашия наклон е –2k, това означава, че ще увеличим y с –2k пъти по 1, или просто –2k. Така, –2k. И така, k плюс –2k е –k. Така че нашето приближено решение по метода на Ойлер ни дава първата точка –k, а какъв ще бъде нашият наклон, започващ в тази точка? Значи, при1 и –k наклонът ще бъде 3 пъти нашето х, което е 1, минус 2 пъти нашето y, което сега е –k, и това е равно на 3 + 2k. А сега ще увеличим с още 1, защото това е нашата големина на стъпката. Още 1, опа, ще стигна до 2. Тази стойност ни интересуваше, нали така? Защото искаме да намерим приблизителна стойност на g(2). Сега да видим какво ще е нашето приближено решение за y при x = 2? И трябва да имаме някакъв израз за k, а условието гласи, че това ще е 4,5, което след това можем да ползваме за да намерим k. И така, какво ще е това? Ако увеличим с 1 за х, трябва да увеличим нашето у с 1 *3+2k. И така, увеличаваме с 3+2k, или –k + 3+2k, което е равно на 3+k. И според условието това е приблизително равно на 4,5 Така че 3 + k = 4,5 Значи k, с което започнахме, трябва да е било... ако просто извадим 3 и от двете страни, (това тук е десетична запетая) трябва да е било... k трябва да е равно на 1,5, което можеш да провериш. Ако това начално условие ето тук, ако g(0) е равно на 1,5, тогава заместваш 1,5 тук. След което ето тук би се получило 4,5 и с това сме готови.