Първи ред хомогенни уравнения

Днес ще те запозная с хомогенните диференциални уравнения. Думата "хомогенен" използваме, за да обозначим нещо еднородно, като например айряна, след като е добре разбъркан и вече няма бучки. Но тук, поне както аз виждам връзката, понятието се използва с друго значение. Хомогенни диференциални уравнения. Както ще имаш възможност да видиш по-късно, има и друг тип хомогенни диференциални уравнения. Това са така наречените хомогенни линейни диференциални уравнения, но при тях нещата стоят съвсем различно. Точно затова бих искал да те запозная с хомогенните диференциални уравнения. Ще разгледаме уравнения от първи ред. Какво означава хомогенно диференциално уравнение? Да разгледаме едно обикновено диференциално уравнение от първи ред, което можем да запишем ето така. dy/dx равно на някаква функция от х и у. Искаме да решим задачата, но не можем да разделим променливите и нямаме точни стойности. Сега ще видим, че ако това уравнение може да бъде хомогенно, ако това е хомогенно диференциално уравнение, тогава можем да направим полагане на променливите. Чрез полагането на променливите можем да го превърнем в уравнение с отделящи се променливи. Но преди да ти покажа как ще стане това, трябва да обясня какво означава понятието "хомогенно". Ако преработя алгебрично дясната страна на уравнението, за да мога да я преобразувам – вместо да е функция от х и у, искам да преобразувам диференциалното уравнение така, че dy делено на dx да е равно на някаква функция, която ще наречем G, или ще я обозначим с главно F. Преобразуваме алгебрично, така че да получим функция на у, делено на х. След това мога да заместя променливите, за да получим уравнение с отделящи се променливи. Знам, че в момента всичко ти изглежда много объркано. Ще ти го покажа с един пример. Ще ти покажа пример и няколко неща, а после само ще направим заместванията. Да кажем, че диференциалното уравнение е следното: производната на у спрямо х равно на (х + у) делено на х. Ако искаш, можеш да се опиташ да го превърнеш в уравнение с отделящи се променливи, но това не е лесно. Най-малкото, доколкото виждам, не изглежда толкова лесно за решаване. Тук виждаме производната. Тя е равна на някаква функция от х и у. Искам да те попитам следното: мога ли алгебрично да преработя уравнението, така че да получа функция от у делено на х. Разбира се, ако просто разделим и двата члена в числителя на х. Това е равно на х делено на х, плюс у делено на х. Това е равно на dy делено на dx, което е равно на това. (посочва на екрана) Това, което направихме, е все едно да преобразуваме уравнението – ще променя цветовете произволно, тъй като dy делено на dx е равно на x делено на x, което е равно на 1, ако приемем, че x не е равно на 0, плюс у делено на х. Може би се чудиш какво имах предвид, когато казах функция от у делено на х. Можеш да видиш тук. Когато преработя алгебрично уравнението, получавам 1, плюс у делено на х. Ако приемем, че у делено на х е равно на някаква трета променлива, това е просто функция от тази трета променлива. Сега ще направя точно това. Да направим полагане на у делено на х. Да кажем, че v... Ще използвам друг цвят. Нека v е равно на у делено на х. Друг начин да направим това е да умножим и двете страни по х. Така получаваме, че у е равно на х по v. Заместваме y делено на x с v, но също трябва да заместим и dy делено на dx. Да видим какви производни на v получаваме. На колко е равна производната на y спрямо x? Коя е производната на това спрямо х? Ако приемем, че v е функция и на х, тогава трябва само да използваме правилото за диференциране на произведение. Производната на х е 1 умножено по v плюс х по производната на v спрямо х. Вече можем да заместим това и това (посочва на екрана) в това уравнение (посочва уравнението в червено) и получаваме, че dy върху dx е равно на това. Получаваме v плюс x, dv делено на dx, производната на v спрямо х, равно на 1 плюс y делено на x, като това е само лявата страна на уравнението. Заместването е следното – v е равно на y делено на x. Да сметнем 1 плюс v. Оттук нататък всичко е ясно. Можем да извадим v от двете страни на уравнението. Какво ни остава? Имаме х, dv, делено на dx, равно на 1. Да разделим двете страни на уравнението на x. Получаваме, че производната на v спрямо х е равна на 1 делено на х. Вероятно вече решението на задачата става по-ясно, но нека да продължим нататък. Ако умножим и двете страни по dx, получаваме че dv е равно на 1 делено на х, умножено по dx. Да намерим примитивните функции на двете страни на уравнението, като интегрираме двете страни. Виждаме, че v е равно на естествен логаритъм от абсолютната стойност на х, плюс С. Приключихме с решаването на задачата, но би било добре да стигнем до решение, при което има само у и х, без третата променлива v. Тъй като първоначално задачата съдържаше само у и х, хубаво е и решението да включва само тези променливи. Какво представлява v? При заместването приехме, че v е равно на у делено на х. Нека отново да заместим с предишните стойности. Получаваме, че у делено на х е равно на естествен логаритъм от х, плюс С, като С е някаква константа. Умножаваме и двете страни на уравнението по х. Получаваме, че у е равно на х по естествения логаритъм от |х|, плюс С. (Сал пропуска да умножи С по х) Готово. Получихме решение на това диференциално уравнение, за което не можехме да разделим променливите, като приехме, че то е хомогенно, и като заместихме с променливата v вместо y делено на x. Така го превърнахме в уравнение с отделящи се променливи по отношение на v. Решихме новото уравнение, след което отново заместихме предишните променливи. Така получихме решението на диференциалното уравнение. Можеш да провериш самостоятелно, че у е равно на х по естествен логаритъм от абсолютната стойност на х, плюс С. Всъщност съм допуснал грешка. у делено на х е равно на естествен логаритъм от |х|, плюс С. Ако умножим и двете страни на това уравнение по х, какво получаваме? Това, което остава, не е само х по естествен логаритъм от |х|. Трябва да умножа и това по х, нали? Разпределителното свойство – много аматьорска грешка. Вярното решение е у е равно на х по естествен логаритъм от абсолютната стойност на х, плюс х по С. И ако искаш да разбереш колко е С, е необходимо да са дадени някои начални условия. Тогава можеш да намериш стойността на С. Това ще бъде конкретно решение на това диференциално уравнение. В следващия урок ще решим още няколко подобни задачи. До скоро.