Логистични уравнения (част 1)

Нека сега опитаме да решим логистичното диференциално уравнение. Вече намерихме някои константни решения, можем да минем през тях като бърз преговор на предишните видеа. Имаме оста на времето Т и оста на популацията N. Вече видяхме, че ако N=0, когато времето е равно на 0, тоест ако имаме нулева популация, то няма кой да се размножава и това диференциално уравнение отговаря на тази реалност, тъй като за N=0 тази функция ще е 0, съответно и скоростта на промяна спрямо времето също ще е 0. Популацията няма да се променя. Тя ще остане на нула. Това е добре, защото така ще се случи и с една реална популация. Това ни дава константото решение, че N(T) е равно на 0, това е едно възможно решение на това диференциално уравнение, което не е толкова интересно. Една нулева популация никога няма да нарасне или да се промени. Другото константно решение е, когато популацията в началото е достигнала максимума, който околната ѝ среда поддържа. В тази ситуация този член ще стане К върху К, което е 1. Едно минус едно е нула, тук популацията също няма да се променя. Ще остане постоянно равна на К, а скоростта на промяна ще бъде постоянно нула. Това е още едно константно решение, че когато започнем от максималната популация, това диференциално уравнение ще отразява ситуация, която никога не се променя. Казахме, че има по-интересен вариант за началното условие, зададено чрез стойността на N нула, това е N в момента от време Т=0. Времето е равно на нула и началната популация е някъде много по-ниско от евентуалната си горна граница и поради това този член ще бъде много малка дроб, целият множител ще е близо до 1 и скоростта на промяната ще е много близо до това да е пропорционално на N. В този случай графиката може да изглежда така: с увеличаването на N скоростта на промяната му също се увеличава, но когато N се доближава до К, тази дроб ще клони към 1 и целият множител ще се доближава до 0, като така ще надделее над другия множител и скоростта на промяна ще клони към нула. Можем да си представим сценарий, в който имаме асимптота в К. Да опитаме да решим уравнението, за да намерим това N(t), по-точно аналитичния израз на функцията, представена тук. Тя е интересна с това, че би могла да представлява модел на популациите, който по-добре отразява представата на Малтус. Нека опитаме. За да направим това, трябва да установим, че диференциалното уравнение е с отделящи се променливи. Приемаме това като фунция на Т, ще намерим N(T), което удовлетворява уравнението. Трябва да отделим тези N от членовете с T, но тук нямаме явни членове с Т, значи тази задача е лесна. Остава просто да взема този израз тук и да разделя двете страни на него. Ще оставя коефициента R отдясно, за да опростя малко. Искам да го реша за N(T). Нека направя това. Това ще е равно на 1 върху N по 1 минус N/K, умножено по dN върху dT, отдясно остава равно на R. Има и други начини на действие, но сега ще продължа с този. Получаваме това и вече мога да потърся примитивните функции на двете страни по отношение на Т. Това е доста просто. Тук получавам RT по някаква константа, но колко ще е това? Имаме този сложен израз. Можем да разнищим малко това, ако разложим това до две дроби, ако направим частично разлагане на дробта, може да получим израз, който да е по-лесен за намиране на примитивната функция. Искам да открия такива A и B, че А върху N плюс B върху 1 – N/K да е равно на това. Да е равно на 1 върху N по 1 – N/K. Да намерим А и B. Това е разлагане на рационална дроб до сбор от елементарни дроби (метод на неопределените коефициенти). Ако ти е непознат, те приканвам да си припомниш този урок в Кан Академия. Потърси в Кан Академия „Метод на неопределените коефициенти“. Как правим това? Ще събера тези двете тук. Техният сбор ще бъде A по този знаменател, което е равно на А минус А върху K по N, после плюс B по N, цялото върху произведението на двата знаменателя. Получава се N по 1 минус N/K. Това представлява същото, което бих получил като умножа числителя и знаменателя на тази дроб по 1 – N/K, така тя става А по 1 – N/K върху N по 1 – N/K, и после умножа числителя и знаменателя на другата дроб по N: B по N върху N по знаменателя, а после събера двете дроби, които вече са с равни знаменатели. Това е събиране на дроби с различни знаменатели. Този сбор ще е равен на това: 1 върху N по (1 – N/K). Вече може да започнем да търсим стойностите на A и B. На колко ще са равни те? Този член е константа, в него не присъства N. Мога да кажа, че тук имам 0 по N и това прави нещата по-лесни, защото се вижда, че в този числител това плюс това, което са коефициенти пред N, ще имат сбор, равен на нула, а свободният член в него, който е А, е равен на 1. Дотук е добре. Можем да кажем, че А е равно на 1, и щом А е равно на 1, то тук имаме минус 1 върху К плюс В равно на 0. И така, на колко ще е равно В? Това ни дава, че В е равно на 1/К. Вече можем да заместим стойностите в уравнението: 1 върху N плюс 1/К делено на, големия знаменател, 1 минус N/К, цялото по dN/dT равно на R. Разложих дробта като сбор от две дроби, а сега ми е нужно повече място, ще изчистя това. Можеш да върнеш видеото назад, за да го видиш отново, ако имаш нужда. И така. Как ни помага това? Вероятно разпознаваш примитивната функция на 1/N, дори може да я виждаш. Нека помислим малко. Знаем, че примитивната функция на 1/N е натурален логаритъм... добавих нов цвят... натурален логаритъм от абсолютната стойност на N. Виждаме, че производната на това спрямо N е равна на 1/N, и ако искаме да намерим производната на това спрямо Т: производната спрямо Т на натуралния логаритъм от абсолютната стойност на N е равна на производната на това спрямо N, умножена по производната на N спрямо Т, тя е dN/dT. Можем да направим същото и тук. Забележи, че имаме израз. Каква ще е производната на този израз ето тук? Тя ще е –1 върху К, ако взема производна спрямо N, и тя е –1/К. В числителя имам положително 1/К, но мога да го направя отрицателно. Да се освободя от този израз, вместо този плюс, мога да сложа два пъти минус. Два минуса: така не променям стойността. Забележи, че сега това е производната на този израз, което е удобно за заместване с u. Вече може да ти е познато това и дори да го правиш наум. Така знаем каква е производната на този израз спрямо N. Ще използвам друг цвят. Знаем, че производната спрямо N от натуралния логаритъм на 1 – N/К, това е следствие на правилото за диференциране на сложна функция, това е равно на производната на това спрямо N, което е –1/К по производната на целия този израз спрямо това, значи по 1 върху (1 – N/К). Което е точно равно на нашия израз тук. Но ако искаме да намерим неговара производна спрямо Т, значи тази производна спрямо Т на натуралния логаритъм от 1 – N/К ще е равно на производната от този израз спрямо N, нея намерихме преди малко, тя е този израз. Копирам го тук. Имаме този израз, умножен по производната на N спрямо Т, dN/dT. Това е следствие от правилото за диференциране на сложна функция. Забележи, че имаме dN/dT: можем да го умножим по всеки от тези изрази. Нека го направим. Искам да е ясно, защото тук не се засягат толкова много диференциалните уравнения, колкото част от математическия анализ, който учихме наскоро, и дори малко алгебра, затова е добре да не пропускаме стъпки. Ще разкрия тези скоби. Искам да го копирам това, получавам първия израз, после копирам другата част, за да разкрия тези скоби тук. Получавам такъв израз. Това е еквивалентно на уравнението, разбира се, това е равно на R. Искам примитивната функция на това спрямо Т. Ще получа този израз минус този израз. Да го направим. Намирам примитивната функция спрямо Т. Отляво получавам примитивната функция на този израз спрямо Т, която е равна на натуралния логаритъм от абсолютната стойност на N, после изваждам от нея примитивната функция на другия израз спрямо Т, която е натуралния логаритъм от абсолютната стойност на 1 – N/К. Да не забравяме, че тук имаме някаква произволна константа, защото търся общо решение. Да я обозначим с С. Това е равно на примитивната функция на R спрямо Т, тя е R по Т, може би плюс някаква друга константа. Ето така. Сега ще предположа, че моята функция N(T) изпълнява горното условие. Значи ще предположа, че N(T) е по-малко от К и по-голямо от нула. Това означава, че това N ще бъде винаги положително, винаги между 0 и К, което означава и че този израз ще бъде винаги положителен. Това ми позволява да опростя малко, да изтрия знаците за абсолютна стойност. Вместо тях мога да сложа скоби. Също мога да извадя С едно от двете страни. Така ще се отърва и от това, С едно отива отдясно, Знам, че като редактирам така, не изглежда особено прегледно, просто разчиствам малко. Тук имам произволна константа, която още не съм намерил, минус друга произволна константа. Тази разлика също е произволна константа, ще я нарека просто С. Разчиствам това, а тук слагам С. Мога да опростя и още малко, но видеото вече стана по-дълго от обикновено. Ще продължим в следващото видео. Развълнувах се, защото съм близо до решението, почти намерих такова N(T), което удовлетворява даденото ни логистично диференциално уравнение. Остава още малко.