Конволюция и трансформация на Лаплас

Сега, когато имаш представа какво е конволюция, искам да те запозная с теоремата за конволюцията в контекста – може би има и други теореми за конволюцията – в които работим с диференциални уравнения и трансформация на Лаплас. Това е теорема за конволюцията, приложена към трансформацията на Лаплас. Тя гласи следното: Ако е дадена функцията f от t, дефинираме трансформацията на Лаплас на функцията f от t като главно F от s. Правили сме това и преди. Дадена е и друга функция g от t и трансформацията ѝ на Лаплас, която е главно G от s. Тогава, ако търсим конволюцията тези две функции, т.е. конволюцията на функциите f и g, то ще се получи друга функция от t. Това вече го видяхме. Видяхме го в предния урок. Направихме конволюция между синус и косинус. И така, това ще бъде функция на t. Трансформацията на Лаплас от конволюцията на тези две функции – това е същината на теоремата – трансформацията на Лаплас от конволюцията на двете функции е равна на произведението от трансформациите на Лаплас от тези две функции. Равно е на главно F от s, умножено по главно G от s. Това в момента може би ти изглежда много абстрактно и трудно за разбиране, затова да решим един конкретен пример. Или нещо по-добро. Нека решим пример с обратна трансформация на Лаплас. Ще запиша и още едно нещо. Ако това е вярно, то и обратното е изпълнено. Можем да кажем и следното – ще го запиша с жълто. Отнема ми твърде много време да сменям цветовете. Конволюцията на f и g, която е просто функция на t, мога да кажа, че е равна на обратната трансформация на Лаплас. Тя е просто обратната трансформация на Лаплас от F от s, умножено по G от s. Все пак не мога да се въздържа – ще сменя цветовете – от F от s, умножено по G от s. Ето, че сме готови. Каква е ползата от всичко това? Можем да намерим обратната трансформация на Лаплас. Нека е дадено следното – ще го запиша ето тук долу – даден е следният израз H от s, който искам да запиша по следния начин. H от s е равно на 2s върху s квадрат плюс 1. Когато решаваме дълги диференциални уравнения накрая трябва да намерим обратната трансформация на Лаплас. Искаме да намерим обратната трансформация на Лаплас от H от s, тоест обратната трансформация на Лаплас от този израз ето тук – търсим обратната трансформация на Лаплас от следния израз: 2s върху s квадрат плюс 1, на квадрат. Не искам да изгубя това. Точно ето тук. Можем ли да запишем това като произведение от две трансформации на Лаплас? Да опитаме да го направим. Тогава можем да препишем ето този израз. Това е обратната трансформация на Лаплас. Ще преработя този израз ето тук. Мога да преработя 2s върху s квадрат плюс 1, на квадрат. Все едно да имаме следното – ще го запиша така. 2 по 1 върху s квадрат плюс 1, умножено по s върху s квадрат плюс 1. Разложихме го на множители. Ако умножиш числителите тук, се получава 2 по 1, по s, т.е. 2s. Ако умножим знаменателите, става s квадрат плюс 1 по s квадрат плюс 1, което ни дава s квадрат плюс 1, на квадрат. Това е същото нещо. Искаме да намерим обратната трансформация на Лаплас от този израз, което е същото нещо като да намерим обратната трансформация на Лаплас от този израз ето тук. Надявам се, че вече започваш да разбираш какво правим. Ако тези бяха отделни трансформации, то знаем какво е ето това. Ако наречем това F от s, т.е. това да е трансформацията на Лаплас от някаква функция, то знаем каква е тази функция. Това е тази част ето тук. Просто ще го оградя с пунктирана линия. Това е обратната трансформация на Лаплас от sin от t. Тук също ще оградя с пунктир. Това е трансформацията на Лаплас от cos от t, G от s. Значи това е трансформацията на Лаплас от sin от t. (посочва на екрана) А бихме могли да заявим също, че това означава, че f от t е равно на sin от t. Би следвало вече да забелязваш, че това е така. Това означава, че g от t – ако дефинираме това като трансформация на Лаплас на g от t – това означава, че g от t е равно на cos от t. И, разбира се, когато търсиш обратната трансформация на Лаплас, може да изнесеш двойките отпред. А какво да кажем сега? Ще го запиша по следния начин. Може да кажем и напишем следното. Действително, вместо да изнасяме двойките, бихме могли да го оставим подредено по този начин. Ще заградя с правоъгълник целия този израз и ще дефинирам целия израз като F от s. Тогава F от s е трансформацията на Лаплас от 2 по sin от t. Просто исках да включа тази двойка. Не искам да остава извън ограденото и да се объркаш. Искам ясно да отделим F от s по G от s. Този израз ето тук е произведението от трансформацията на Лаплас от 2 по sin от t и трансформацията на Лаплас от cos от t. Теоремата за конволюцията гласи това ето тук. (огражда израза със зелена линия) Тоест, ако търсим обратната трансформация на Лаплас от трансформацията на Лаплас от две функции – знам, че звучи много объркващо – но просто трябва да разпознаем модела. Например този израз, който имаме тук, (посочва на екрана) можем да представим като произведение от две трансформации на Лаплас, които разпознаваме. Този израз тук е трансформацията на Лаплас от 2 sin от t. (посочва израза на екрана) А този израз е трансформацията на Лаплас от cos от t. (посочва израза на екрана) Просто означихме тези изрази съответно G от s и F от s. Ако имам някакъв израз, който е записан по този начин, то мога да намеря обратната трансформация на Лаплас, което ще бъде равно на конволюцията на първоначалните функции. Ще бъде равно на конволюцията на обратната трансформация от g и на обратната трансформация от f. Ще го запиша по следния начин. Знаем, че f от t е равно на обратната трансформация на Лаплас от F от s. Знаем също, че g от... Трябваше да използвам различен цвят, ще запиша g със зелено. Знаем, че g от t, е равно на обратната трансформация на Лаплас от G от s. Можем да запишем теоремата за конволюцията по следния начин. Може би това повече те обърква, отколкото да ти е полезно, но ще дам най-доброто от себе си. Обратната трансформация на Лаплас – ще опитам да спазвам цветовете – обратната трансформация от F от s, умножена по G от s, дава следното – просто повтарям теоремата за конволюцията ето тук. Този израз е равен на конволюцията от обратната трансформация на Лаплас на F от s. Тоест равно е на конволюцията от обратната трансформация на Лаплас от F oт s и обратната трансформация на Лаплас от G от s. Конволюцията с обратната трансформация на Лаплас от функцията главно G от s. Не съм сигурен дали това ти помага или не, но ако се върнеш към този пример, би могло. Това е F от s ето тук. Това ще го запиша със светло синьо. Тук имаме 2 върху s квадрат плюс 1. Това в нашия пример е F от s. А G от s е равно на s върху s квадрат плюс 1. Този резултат се получи, когато разделих ето този израз на два различни израза, които разпознах. Ако умножа тези два израза, то мога да се върна към първоначалния израз, на който исках да намеря обратна трансформация на Лаплас. Треоремата за конволюцията просто гласи, че обратната трансформация на Лаплас от този израз е равно на обратната трансформация на Лаплас от 2 върху s квадрат плюс 1, в конволюция с обратната трансформация на Лаплас от G от s, т.е. s върху s квадрат плюс 1. Знаем какви са тези изрази. Вече ги разгледахме, но би трябвало много добре да ги разпознаваш. Ето този е 2 по sin от t. Намираме трансформацията на Лаплас от sin от t и получаваме 1 върху s квадрат плюс 1, а след това го умножаваме по 2, ето тук горе имаме двойка. И следва да свържем това с обратната трансформация на Лаплас от ето този израз тук. Вече разгледахме това. Това е cos от t. Нека да изясня какво получихме досега. Винаги е хубаво да се отдръпнем за малко и просто да помислим за това, което правим, както и защо го правим. Имаме обратна трансформация на Лаплас от ето този израз в горния ляв ъгъл, от 2s върху s квадрат плюс 1, на квадрат. Преди да направим това, което в момента правим, беше трудно да го изчислим. Това тук следва да е къдрава скоба, но мисля, че идеята ти е ясна. Равно е на ето този израз. (подчертава израза със жълто) Равно е на 2 sin от t в конволюция с cos от t. Може би си мислиш: "Сал, през целия този процес вече забравих какво означава конволюция на две функции, така че нека да я изчислим. Просто ще напиша определението, т.е. определението, което използваме за конволюция. f в конволюция с g – ще бъде равно на функция на g... Просто ще го запиша съкратено. Равно е на интеграл от 0 до t, f от t минус τ, по g от τ, dτ. 2 по sin от t в конволюция с cos от t, е равно на следното. Ще използвам неутрален цвят. Интеграл от 0 до t, 2 sin от (t минус τ), умножено по cos τ, dτ. В последното видео, което записах, реших такава задача, или много подобна на нея. Изнасяме 2 отпред и получаваме 2 по интеграл от 0 до t, sin от (t минус τ), по cos τ. Действително реших този пример в предния урок. Този израз тук е конволюциятa (подчертава израза с жълто) на sin от t и cos от t. Това е sin от t в конволюция с cos от t. В предния урок го показах. Просто изгледай видеото за въведение в конволюцията. Там показах, че този израз е равен на 1/2 по t по sin от t. Ако това е равно на 1/2 t sin от t, и ако го умножа по 2, тогава получаваме, че обратната трансформация на Лаплас от 2s върху s квадрат плюс 1, на квадрат, е равно на конволюция от 2 sin от t с cos от t. Равно е на 2 по този израз ето тук, който е 2 по 1/2 – тези двойки се съкращават – т.е. равно е на t по sin от t. Всичко това ето тук... Веднъж, когато го овладееш, няма да се налага да преминаваш през всички тези стъпки. Ключовото тук, обаче, е да забележиш, че тази дроб може да се разложи като произведение на две обратни трансформации на Лаплас, които знаеш. Тази дроб може да се разложи като произведение на две обратни трансформации на Лаплас, които познаваме. Това е трансформацията на Лаплас от 2 sin от t. Това беше трансформацията на Лаплас от cos от t. Обратната трансформация на Лаплас от първоначалния израз е просто конволюцията на тази функция с ето тази. (подчертава ги със зелено) Ако си гледал/а предния урок, тогава разбираш, че изчислението на конволюцията не е лесна задача, но е възможно. Може да го получиш във вид на интеграл. Дори и да не успееш да го изчислиш, поне може да получиш отговора във вид на някакъв интеграл. Все още не съм доказал теоремата за конволюцията. Ще го направя в бъдещ урок. Надявам се обаче, че от сегашния урок вече имаш представа как можеш да я използваш, за да намираш обратната трансформация на Лаплас. Спомни си, че причината да се учим да намираме обратна трансформация на Лаплас, както и защо са ни всички тези инструменти, е защото те винаги са последната стъпка в решаването на диференциално уравнение чрез трансформация на Лаплас.