Решаване на диференциално уравнение, съдържащо функция на Хевисайд, с помощта на трансформация на Лаплас

Хайде да приложим всичко, което научихме, и да решим едно диференциално уравнение. Вместо само да търсим трансформация на Лаплас и нейната обратна, нека наистина решим една задача. Дадено е, че втората производна у'' (у секонд) на функцията у – дадено е y'' плюс 4у, равно на sin(t) минус функцията на Хевисайд u(t) с индекс 2π (пи), по sin(t – 2π). Да решим това уравнение и да го разтълкуваме. Аз реално правя цяла поредица от уроци за тълкуването на диференциалните уравнения и как моделираме с тях. Можеш да разглеждаш тази функция като функция на времето, моделираща някаква сила. Това е особена функция на времето, с която моделираме сила, която е приложена върху някаква маса, и както виждаш, този член представлява ускорението, нали така? Втората производна спрямо времето представлява ускорението. Масата е една единица, без значение каква е мерната единица, а после, тъй като това е функция на позицията, това вероятно е коефициентът на еластичност на пружина. Няма обаче да стигаме дотам. Не искам да отделям време за физическото значение на уравнението. Нека го решим. Може малко по-късно да разгледаме физичното му значение. Търсим трансформацията на Лаплас от двете страни на уравнението. На какво е равна трансформацията на Лаплас от лявата страна? Трансформацията на Лаплас от втората производна на у е просто s квадрат. Сега определяме трансформацията на Лаплас само от този израз. Трансформация на Лаплас от s квадрат, умножено по трансформация на Лаплас от у, минус... сега понижаваме степента с една единица – минус s по y(0), минус у'(0). Очевидно ни е нужно някакво първоначално условие, за да решим уравнението. Следва плюс 4 по трансформацията на Лаплас от у, и това е равно на... На какво е равна трансформацията на Лаплас от sin(t)? Това вече трябва да го знаеш отлично. Това е просто 1 върху s квадрат плюс 1. Продължаваме, като изваждаме трансформацията на Лаплас от ето този израз. Ще я запиша отстрани, за да намеря трансформацията на Лаплас от този израз. (подчертава израза със зелено) Преди няколко урока ти показах, следното нещо за трансформацията на Лаплас. Всъщност ще го запиша ето тук. Това ще бъде равно на трансформация на Лаплас от sin(t), но ще трябва да го умножим по 'е' на степен минус – ако си спомняш последната формула – 'е' на степен минус cs, където c е равно на 2π. Ще го запиша. Първо реших да го запиша, после реших да не го правя. Но все пак ще го запиша. Трансформация на Лаплас от функцията на Хевисайд u(t), с индекс `c` (скача в точка `с`), умножена по някаква функция, отместена със `c`, е равно на 'е' на степен минус cs по трансформацията на Лаплас от първоначалната функция, тоест по трансформацията на Лаплас от f(t). Търсим трансформацията на Лаплас от този израз, а нашето c е равно на 2π. Функцията f(t) е просто sin(t), нали така? Тогава тук ще получим - ако разглеждаме само този израз ето тук – ще бъде равно на 'е' на степен минус cs – c е равно на 2π - т.е. 'е' на степен минус 2π по s, по трансформация на Лаплас от f(t), като f(t) е просто sin(t) преди отместването на функцията. Този израз тук е f(t) минус 2π. Тогава f(t) просто ще бъде sin(t). Умножаваме по 1 върху s квадрат плюс 1. Това е трансформацията на Лаплас от sin(t). Нека сега се върнем там, докъдето бяхме стигнали. Намерихме трансформацията на Лаплас от двете страни на даденото уравнение. Имам дадени първоначални условия в задачата, които забравих да запиша. Нека разгледаме първоначалните условия, които са ни дадени. Записани са почти в полето ето тук. Ще използвам оранжев цвят. Дадено е, че у(0), е равно на 0 и у'(0) е равно на 0. Това улеснява изчисленията. Това тук е 0 и това също е 0. (зачертава с оранжево два члена в уравнението) Нека да опростя уравнението. Отляво ще изнеса трансформацията на Лаплас. Ще разложа този и този член. Получаваме трансформация на Лаплас от у, умножена по това плюс това. (показва на екрана) Тоест умножена по s квадрат плюс 4, е равно на дясната страна. А какво остава от дясната страна? Можем да опростим този израз. Просто ще го запиша. Не искам да правя много стъпки наведнъж. Имам 1 върху s квадрат плюс 1, а след това плюс, т.е. минус – защото това е минус – трансформацията на Лаплас от този израз, който е 'е' на степен минус 2πs върху s квадрат плюс 1. Разделяме двете страни на уравнението на s квадрат плюс 4 и получаваме, че трансформацията на Лаплас от у, е равна на следното... По същество мога просто да събера тези две дроби, които имат еднакви знаменатели. Още преди дори да разделя на s квадрат плюс 4, дясната страна ще изглежда по следния начин: тя е със знаменател s квадрат плюс 1, а числителят е 1 минус 'е' на степен минус 2πs. Разделяме двете страни на уравнението на s квадрат плюс 4, така че следва да запишем това s квадрат плюс 4 ето тук в знаменателя. Стигнахме до трудната част. За да намерим у, следва да намерим обратната трансформация на Лаплас от този израз. Как да намерим обратната трансформация на Лаплас от този израз? Ето това е трудната част. Знаеш, че решението на едно диференциално уравнение е лесно, ако намериш трансформацията на Лаплас. Изглежда, че трябва да направим разлагане на елементарни дроби. Нека видим дали можем да го направим. Може да преобразуваме това уравнение тук. Нека да го запишем по начин, който ще ни помогне да опростим работата си. Нека разложим целия този израз. Записваме го като 1 минус 'е' на степен минус 2πs, а всичко това е умножено – записвам го с оранжево – по 1 върху, s квадрат плюс 1, по s квадрат плюс 4. Сега следва да направим разлагане на елементарни дроби, за да опростим този израз ето тук. Ще го направя някъде настрани. Може би да го запиша ето тук вдясно. Ще препиша този израз: 1 върху (s квадрат плюс 1), умножено по (s квадрат плюс 4) – би трябвало да можем да го запишем като две отделни дроби, (s квадрат плюс 1) и (s квадрат плюс 4), със съответните числители. Първият числител ще бъде Аs плюс В. От първа степен е, защото знаменателят тук е от втора степен. Вторият числител ще бъде Cs плюс D. Като съберем тези две дроби, получаваме As плюс B, умножено по s квадрат плюс 4, плюс Cs плюс D, по s квадрат плюс 1, и всичко това е върху общ знаменател. Виждали сме този метод и преди. Сега просто ще направим някои алгебрични преобразувания. Както можеш да видиш, диференциалните уравнения изискват много енергия и упоритост. Просто трябва да си кажеш "Продължавам напред, ще преобразувам алгебрично, каквото е необходимо, за да получа отговора!". Трябва да се ентусиазираш от това, че ще направиш всички тези алгебрични преобразувания Нека да го решим. Числителят се опростява до A по s на трета, плюс B по s на квадрат, плюс 4А по s, плюс 4B. Следващият израз е C по s на трета, плюс D по s квадрат, плюс C по s, плюс D. Когато събереш всички тези членове, получаваш следното – всичко това са алгебрични преобразувания, за добро или за лошо – А плюс C по s на трета, плюс (B плюс D) по s квадрат, плюс (4А плюс С) по s – ще се преместя малко – плюс 4В плюс D. А сега следва просто да си кажем "Добре, целият този израз, е равен на този тук горе.". Това е числителят. Просто опростихме числителят. Това е числителят. Това тук е числителят. И всичко това е върху първоначалното s квадрат плюс 1, умножено по s квадрат плюс 4. Установихме, че този израз – нека го запиша – 1 върху s квадрат плюс 1, по s квадрат плюс 4, следва да е равен на ето този израз. Сега просто приравняваме съответните коефициенти. Това е просто трудоемко разлагане на елементарни дроби. Може би ще кажеш, че А плюс С е коефициентът пред s на трета. Тук не виждам членове, съдържащи s на трета. А плюс С следва да е равно на 0. След това виждаме, че B плюс D е коефициентът пред s квадрат. Не виждам тук член с s квадрат. B плюс D следва да е равно на 0. 4А плюс С е коефициентът пред s членовете. Тук обаче не виждам членове с s. Следователно 4А плюс С е равно на 0. И сме почти готови. 4B плюс D остава да са членовете константи. В числителя има константа. Следователно 4B плюс D е равно на 1. Нека видим какво можем да направим тук. Горното уравнение минус долното уравнение ни дава минус 3А е равно на 0. Тоест А е равно на 0. Ако А е равно на 0, то и С е равно на 0. Нека видим какво можем да получим тук. Горното уравнение минус долното уравнение ни дава минус 3B – защото членовете с D се унищожават – е равно на минус 1, т.е. B е равно на 1/3. Получаваме също, че D е равно на минус B, ако извадим B от двете страни. Тогава D e равно на 1/3. (Сал греши, D е равно на -1/3) След всички тези изчисления се получи много хубав резултат. Нашето уравнение може да бъде преработено по следния начин. А не присъства вече. Имаме 1/3 върху s квадрат плюс 1. B е коефициентът – нека да го поясня – т.е. B беше коефициентът в числителя на дробта със знаменател s квадрат плюс 1, и поради това използвам B ето тук. Тогава D е равно на минус B, т.е. D е равно на следното. Нека се уверя, че е правилно. D е 1/3. (Сал греши и ще го открие след малко) Нека се уверя, че правилно го изчислявам. D е 1/3. B e равно на 1/3, а тогава D е равно на минус 1/3. B е в числителя върху s квадрат плюс 1. След това имаме минус D върху... минус 1/3 върху s квадрат плюс 4. Нужна ми е много енергия, за да запиша този урок. Надявам се, че го оценяваш. Нека запиша всичко отново, за се върнем към задачата, защото, когато направиш разлагане на елементарни дроби, забравяш не просто каква е задачата, а дори кой ден сме днес. Получаваме, че трансформацията на Лаплас от у, е равна на 1 минус е на степен минус 2πs, умножена по ето тези заплетени изрази, които получихме. Записвам го по следния начин. 1/3 по 1 върху s квадрат плюс 1, минус 1/3 по... Нека всъщност го запиша ето така. Имам ето това s квадрат плюс 4, така че наистина имам нужда от 2 ето тук. Искам да имам 2 в числителя, така че да се получи 2 върху s квадрат плюс 4. Ако поставя 2 в числителя, трябва също да разделя на 2. Ще променя това на 6. Минус 1/6 по 2 е минус 1/3. Направих това, за да получа този израз във вид на трансформация на Лаплас от sin(t). Нека видим какво да направим оттук нататък. Това е епична задача. Много ще се учудя, ако успея да не направя груба грешка тук. Нека препишем всичко. Нека проверя как да го опростя. Под опростяване просто имам предвид да е по-дълъг записа. Записваме трансформацията на Лаплас от у, която е равна на следното – ще разкрия скобите и просто ще умножа по единицата, а след това ще умножа и по 'е' на степен минус 2πs. След като умножим по единица, се получава 1/3 по 1 върху s квадрат, плюс 1 – просто умножавам по единица – минус 1/6 – това са всички единици, умножени по единица - по 2 върху s квадрат плюс 4. След това ще умножа и по минус 'е'. Ще сменя цветовете за минус 'е'. Получава се минус 'е' на степен минус 2πs, цялото върху 3, по 1 върху s квадрат плюс 1. Минус по минус прави плюс, така че се получава плюс 'е' на степен минус 2πs, върху 6, по 2 върху s квадрат плюс 4. Намирането на обратна трансформация на Лаплас от тези изрази е сравнително лесно. Нека го направим. Нека намерим обратната трансформация на Лаплас от целия израз. Получаваме, че у е равно на обратната трансформация на Лаплас от този израз ето тук (подчертава го), което е равно на 1/3 по sin(t) – тук няма нужда от скоби – синус от t, а след това имаме минус 1/6 по... това е трансформацията на Лаплас от синус от 2t. Това е този член ето тук. (подчертава го) Тези изрази са почти еднакви, но имаме ето този досаден член тук. Имаме това 'e' на степен минус 2πs. А сега просто следва да си припомним следното. Ще го запиша тук долу. Следва просто да си припомним трансформацията на Лаплас от функцията на Хевисайд u(t) – слагам индекс π ето тук, тоест 2π – по f(t – 2π), а трябва и да запиша, че функцията на Хевисайд от t, (добавя (t) след u), и всичко това е равно на 'е' на степен 2πs, по трансформацията на Лаплас от следното – ще го запиша ето така – умножаваме по трансформацията на Лаплас от f(t). Ако разглеждаме f(t) просто като sin(t) или sin(2t), то тогава може да разпознаем формулата, но в обратна посока. Следва да я отместим и да я умножим по функцията на Хевисайд. Искам да изясня това. Ако този член тук го нямаше, обратната трансформация на Лаплас от ето този член щеше да бъде същата като ето този израз. Просто щеше да бъде sin(t). Обратната трансформация на Лаплас от този израз, би била равна на sin(2t). Ние обаче имаме този досаден член ето тук. Вместо да имаме обратната трансформация на Лаплас, равно просто на f(t), то ще бъде равно на f(t), но отместено на 2π по функцията на Хевисайд, която има скок в точката 2π. Тогава тук ще получим минус 1/3 по функцията на Хевисайд от t, където с е равно на 2π, по – вместо по sin(t), по sin(t – 2π). И сме почти готови. Ще го направя в лилаво, за да го отпразнуваме. Прибавяме и този последен член, който е 1/6 по функцията на Хевисайд от t, с индекс 2π, т.е. която прави скок в точката 2π, по синус от – тук трябва да внимаваме. Там, където преди имахме t, сега го заместваме с t минус 2π. Вместо sin(2t) ще имаме синус от 2 по (t – 2π). И ето, че го получихме! Най-накрая решихме тази толкова трудна задача. Може да отделим малко време, ако искаме да опростим резултата. Може наистина да го направим. С риск да допусна някаква груба грешка в този последен момент, ще проверя дали мога да направя някакво опростяване тук. Не виждам някакъв очевиден начин за това... Може да разложим тази част от израза тук, (посочва частта в зелено) но освен тази част, изглежда сме направили най-доброто, което можем. Ето това е нашата функция от t, която удовлетворява нашето иначе обикновено на вид диференциално уравнение. Изглеждаше сравнително лесно, но се наложи да преминем през цялата тази бъркотия, за да го решим, като вземем предвид и първоначално поставените условия.