Трансформация на Лаплас от функцията sin(at) (част 2)

Здравей отново. В предишния урок преполовихме трансформацията на Лаплас от синус от a по t и сега ще продължим. Ето това беше определението на трансформацията на Лаплас за синус от a по t. Казахме също, че това е равно на у. Това ще ни е полезно, тъй като ще извършим интегриране по части два пъти. Вече направих едно интегриране по части, после още едно. Засега игнорираме границите на интеграла. Ще го разглеждаме само като неопределен интеграл. И след като намерим у – нека просто да кажем, че у е неопределена версия на всичко това – тогава можем да преминем към определяне на границите. Стигнахме дотук и установихме, че след две много внимателни интегрирания по части, че това (посочва интеграла) е нашето първоначално у. Ако поставя ограниченията на интеграла, това е трансформацията на Лаплас от синус от a по t, нали така? Това е първоначалното ни у. Ще сменя цвета, за да е по-интересно, „това е равно на... всъщност на у (Сал зачерква интеграла с жълто и пише отдолу у).“ Нали така? Такова беше първоначалното определение. Да добавим а на квадрат върху s на квадрат, по у, към двете страни на равенството. Това става равно на у плюс.... добавям целия този израз към двете страни на равенството... плюс а на квадрат върху s на квадрат, по у, равно на... този член вече го няма – равно на всичко това. Нека опитаме да опростим. Да изнесем пред скоби... е на степен минус (s по t), всъщност нека е минус е на степен минус (s по t), умножено по... в скобите остава 1 върху s синус от at, минус 1 върху s на квадрат, по косинус от at (Сал прави грешка. Коефициентът пред cos(at) е плюс а (не е минус 1) върху s на квадрат )“ Надявам се да съм бил внимателен. Можем да добавим коефициента. Получаваме 1 плюс, а на квадрат върху s на квадрат, по у. Но това е същото като s на квадрат върху s на квадрат плюс а на квадрат, върху s на квадрат. Това е s на квадрат плюс а на квадрат върху s на квадрат, по у, равно на минус е на степен минус st, умножено с цялото това нещо: 1 върху s по синус от at, минус 1 върху s на квадрат, по косинус от at. (Сал не забелязва грешката си. Коефициентът пред cos(at) е плюс а (не е минус 1) върху s на квадрат)“ И тъй като навсякъде интегрираме спрямо dt, това е само константа, нали? Можем да кажем, че константа по примитивната функция е равно на това. Сега е добър момент да определим границите. Нали? Ако тук имаше t, щеше да се наложи да ги изнеса от едната страна. Тъй като аргументите t участват в определянето на границите на нашия несобствен интеграл. Нека сега да изчислим този израз за дадените граници (загражда израза на екрана). Можеше да оставим това и за по-късно, но все някога ще трябва да го изчислим. Засега изнесохме този член пред скоби. Но да се върнем. Да изчислим заградения израз от 0 до безкрайност. Това може да опрости нещата. Да изчислим дясната страна на това равенство при безкрайност: колко е е на степен минус безкрайност? Ще бъде 0. Доказвали сме го много пъти. А когато клони към нула откъм отрицателните числа, отново стойността ще се приближава до 0. Колко е синус от безкрайност Синусоидата непрекъснато слиза и се изкачва между минус 1 и плюс 1, нали си я представяш, както и графиката на косинус. Това означава, че този израз е ограничен, следователно неограниченият множител има по-голяма сила. Ако ти е любопитно, провери графиката му. Неговата крива сякаш обгръща синусоидата и я смачква към нулата. И така, границата при безкрайност е равна на нула. Това звучи логично, нали? Този множител е ограничен между минус 1 и 1, а този множител много бързо се приближава до нулата. Това прави 0 по нещо, което е ограничено между 1 и -1. Виж го и по друг начин: най-голямата стойност на този член е 1 по стойността на коефициентите отпред, а другият член е 0. Така произведението е същото като 0 по 1. Вече отделих много внимание на това. Можеш да го разгледаш самостоятелно. Сега вадим цялото това нещо, изчислено при 0. Колко е числото е на степен минус 0? Знаем, че е на степен минус 0 е равно на 1. Нали така? Това става е на степен 0. Вадим минус 1, значи става плюс 1, по... синус от 0 е 0, –1 върху s квадрат по косинус от 0. Колко е това? (не е –1 върху s квадрат, а +а върху s квадрат) Да видим. Косинус от 0 е равно на 1, става минус 1 върху s на квадрат, умножено по 1. Цялото е равно на минус 1 върху s квадрат. Мисля, че съм направил някаква грешка, защото не бива числото да е отрицателно. Да проследим какво направихме. Може би това число не е отрицателно? И така... тук е безкрайност... Цялото това е нула. Като заместим тук с нула, това става минус 1. Да. Значи или тук има плюс или това е плюс. Хайде да си намеря грешката. е на степен минус st... ето къде е грешката! Точно тук горе. Като изнесох пред скоби минус е на степен минус st. Добре, че го открихме. Това прави 1 върху s по синус от at. Но като изнеса минус 'е' на степен минус st това става плюс. (Сал е забелязал грешката си, поправя знака на 1 върху s на квадрат, но не забелязва, че 1 трябва да е `а`.) Тук имаше минус, но го изнасям пред скобите, затова тук става плюс. Това трябва да е плюс. Радвам се, че открихме грешката лесно. Значи това става плюс. Това също става плюс. Е, добре. Щеше да е тъжно след два урока работа да получим грешен отговор. Да се върнем на решението. Сега имаме s на квадрат плюс а на квадрат, върху s на квадрат, умножено по у, равно на това. Умножаваме двете страни по s на квадрат върху s на квадрат плюс а на квадрат. Получаваме у равно на 1 върху s на квадрат... само да проверя дали това е вярно, това е 1 върху s на квадрат, у е равно на едно върху s на квадрат, умножаваме по s на квадрат, върху s квадрат плюс а квадрат. Тези се съкръщават. Нека пак да проверя дали е вярно. Защото нещо ме съмнява. Да, ето тук. Виждам грешката. Всичко е в този член. Дано грешките ми да не те объркват, но виждаш как се случват нещата в реално време. И аз, като всеки човек, правя грешки. И този път направих същата грешка по невнимание. Изнасям пред скоби е на степен минус st, значи тук е плюс. Но това беше а върху s на квадрат. Значи тук е а, вместо 1. (Сал забелязва втората си грешка и я поправя) И тук имам а. И тук е а. И тук също е а. Също и тук. Нали така? Тук имаме а. И това е правилният отговор. а върху, s на квадрат плюс а на квадрат. Надявам се, че не обърках твърде много с тези грешки. Такива неща се случват, ние интегрирахме по части два пъти с различни променливи. И все пак, вече сме готови да добавим важен ред в нашата таблица с трансформации на Лаплас. Той е, че трансформацията на Лаплас... тази скоба е излишна... Ще го направя отново. Трансформацията на Лаплас от синус от аt е равна на а върху s на квадрат плюс а на квадрат. Това е много важен ред в таблицата. За теб може да е добро упражнение да опиташ по същия начин, чрез интегриране по части на два пъти да опиташ да намериш трансформацията на Лаплас от косинус at. Дори ще ти подскажа. Тя е равна на s върху s на квадрат плюс а на квадрат. Получава се хубава симетрия. И така, стигнахме до края на този урок. Беше доста изморително. Затова спирам тук и ще се видим в следващия урок.