Метод на неопределените коефициенти (част 2)

Да решим още едно нехомогенно уравнение. Да започнем от същия пример, но ще променим дясната страна. Защото вече знаеш как се решава неговият хомогенен вариант. Това е задачата от предишния урок. Втората производна на у минус три по първата производна на у минус 4 по самата функция у. В предишната задача нехомогенната част беше 3 по числото е на степен 2х. Вече сигурно ти омръзнаха тези показателни функции, затова да сложим тук тригонометрична. Например това да е равно на 2 по синус от х. И така, първата стъпка е същата както при предишната задача. По същество решаваш хомогенното уравнение. Уравнението е хомогенно, когато отдясно имаме 0. За да го решим, ни трябва характеристичното уравнение: r на квадрат минус 3r, минус 4, равно на 0. Решенията на това са r равно на 4 и r равно на -1 и от тях извеждаме общото решение. Направихме точно това в предишния урок. Получихме общото решение на хомогенното уравнение. Може да го наречем за по-кратко „хомогенно решение“. у хомогенно (у с индекс h). Получихме С1 по е на степен 4х, плюс С2 по е на степен минус х. Това е добре, но за да получа общото решение на това нехомогенно уравнение, ми е необходимо едно решение на нехомогенното уравнение, т.е. гледаме на това (хомогенно решение) като на нула и го прибавяме към конкретно (частно) решение, което удовлетворява нехомогенното уравнение. Търся такава функция, че нейната втора производна минус 3 пъти първата производна минус 4 по самата функция, за да се получи точно 2 по синус х. За целта отново ще използваме метода на неопределените коефициенти. При тях просто разсъждаваме: за какъв тип функция, като съберем или извадим кратни на нейните втора, първа производна и самата нея ще получим синус от х? Има два типа функции, от които се получава синус от х за първа и втора производна. Те са: синус и косинус от х. Добро предположение. В това се състои методът на неопределените коефициенти. Опитваш се да налучкаш конкретна функция-решение и после намираш неизвестните коефициенти пред нея. Нека да допуснем, че нашето предположение е у, равно на… например някакъв коефициент по функцията синус от х, Ако отдясно имах синус от 2х, тук щях да сложа А по синус от 2х. Това е, защото накрая ще искам да остане тази конкретна функция в уравнението, и ако исках да получа синус от 2х, то синус от х нямаше да ми свърши работа, защото не се сещам как да получа едното от другото. И така, каквато функция имам тук, искам да я имам и в решението. След това към Аsinх добавям друг неопределен коефициент В, по косинус от х. Повтарям, ако аргументът не беше х, ами да речем 2х, тук щеше да дойде косинус от 2х. Да намерим първата и втората производна на това. Първата производна е у прим равно на А по косинус от х, производната на косинус е минус синус, значи минус В по синус от х. А сега втората производна: ще я разпиша тук. Тя е производната на първата, производна на косинус е минус синус, значи минус А по синус х минус В по косинус х. Вече виждаш кое е най-трудното при решаването на задачи с диференциални уравнения: да не допускаш грешки от невнимание. Използва се много алгебра и много основна висша математика. Ключът е да не се допускат грешки от невнимание. И винаги, когато го казвам, правя по някоя такава. Затова сега ще внимавам повече. И така, да заместим тези изрази обратно в нехомогенното уравнение. Да опитаме да намерим А и В. Това е втората производна. Ще го разпиша пак, за да виждаш какво правя. Започвам с втората производна, у секонд, и тя е минус А по синус х минус В по косинус х. Към нея добавям минус 3 пъти по първата производна. Ще запиша синусите един под друг, както и косинусите. И така, минус 3 по този израз: да започнем от синуса, това е минус 3 по минус В, значи плюс 3В синус от х, минус 3 по А по косинус от х. После изваждаме 4 пъти по самата функция: минус 4 А по синус от х идва тук, нали така? И минус 4 пъти по В косинус х, което идва тук. Сега мога да намеря сбора на всичко това: то представлява лявата страна на това уравнение, и тя трябва да е равна на 2 по синус от х, което е дясната. Нарочно ги написах едно под друго, за да събирам по-лесно. Така можем лесно да съберем всички синуси и косинуси. Събирам всички коефициенти пред синус от х: минус А плюс 3В минус 4А. Получавам (минус 5А плюс 3В) по синус х. А кои са коефициентите тук? Пред косинусите имам минус В, после минус 4В, накрая минус 3А. Сборът е минус 3А минус 5В, по косинус от х. Не ми остана място, тук е косинус от х. А как да намерим А и В? Имаме (-5А + 3В) пред синуса отляво, което ще е равно на коефициента пред синус от х от дясната страна. Значи, минус 5А плюс 3В трябва да е равно на 2. Това е едното уравнение за А и В. Отляво имаме и коефициент пред косинуса, той е минус 3А минус 5В, и трябва да е равен на коефициента пред косинус х от дясната страна, нали? Е, отдясно нямаме косинус х, значи коефициентът там е 0. Така получихме система от две уравнения с две неизвестни. Това е линейна система. Едното уравнение е -5А + 3В = 2. А другото е -3А - 5В = 0. Да опростим малко тази система. Тя е с две неизвестни и две уравнения. Какво ще стане, ако умножа горното уравнение по 5/3? Да опитаме. Получава се минус (25/3)А плюс 5В, равно на 5/3 по 2, което е 10/3. А долното уравнение си остава -3А минус 5В равно на 0. Да съберем двете уравнения. Получавам 10/3 отдясно, равно на... тези се унищожават, остава (минус 25/3 минус 9/3) по А от лявата страна. Получиха се малко повечко дроби, но ще се справим. И така, минус 25 минус 9. Това е равно на 34. (Сал пропуска знака минус пред 34) Значи получихме, че 34 трети по А е равно на 10/3. Можем да умножим двете страни по 3. И да ги разделим на 34. А е равно на 10/34, което се опростява до 5/17. Намерихме А, то е 5/17. (Заради пропуснатия знак минус този резултат е грешени Сал ще открие това по-късно) Вече можем да изчислим и В. Хайде. Минус 3 по А, замествам с намереното 5/17, минус 5В е равно на 0. Това е второто уравнение. Става минус 15/17 равно на плюс 5В. Просто преместих това отдясно. Сега ще разделя двете страни на 5. О, знаеш ли какво? Току-що си открих грешка по невнимание. Тук е минус 25 минус 9. Значи трябва да имам минус пред 34. Ще стане –34 А = 10. И тогава А ще бъде –10/34, или –5/17. Значи и тук трябва да сложа минус, ще бъде –5/17. Значи ще стане +5/17 равно на +5В, нали така? И за В ще получа, че е равно на 3/17. Бях на косъм да сбъркам. Забележи колко е трудно да не изпуснеш някой минус. Все пак, намерихме нашето конкретно решение. Ще използвам малко по-приятен цвят. Частното решение е: замествам А с –5/17, по синус от х, плюс В, което е 3/17, по косинус от х. И ако се върнем към условието на задачата, общото решение на това нехомогенно уравнение ще е това: общото решение на хомогенното уравнение, намирали сме го в много уроци, а сега плюс частното решение, което току-що намерихме по метода на неопределените коефициенти. Като събереш тези двете, получаваш решението на задачата. Времето ми свърши. Ще се видим в следващото видео.