Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 6

Урок 1: Разстояние и средни точки

Подготовка за изучаване на аналитична геометрия

Аналитичната геометрия свързва геометричните фигури, координатната равнина и алгебричните преобразувания. Да преговорим какво знаем за координатната равнина, разстояние и изместване, наклон и някои полезни аритметични умения.

Да си припомним някои понятия, които ще са ни полезни в раздела "Аналитична геометрия" в курса "Гимназиална геометрия". Тук ще дадем обобщение на всички понятия, заедно с примери, връзки към упражнения и информация защо съответното понятие е нужно в предстоящите уроци.

Този урок е разделен на много подточки, защото аналитичната геометрия комбинира много понятия и идеи!

Тази статия включва само понятия, които са изучавани в предишните курсове. Има и понятия, които се изучават в настоящия курс "Гимназиална геометрия" и са важни за осмисляне на аналитичната геометрия. Ако все още не си овладял/а питагоровата теорема, ти препоръчваме да я преговориш, преди да продължиш напред с раздела.

Точки в координатната равнина

Какво е това и за какво ще го използваме?

С помощта на координатната равнина показваме различните относителни местоположения в двумерно пространство. Всяка точка в равнината описваме с наредена двойка от вида

(x; y)

, където

x

представя хоризонталната позиция, а

y

представя вертикалната позиция. Точките наляво от

имат отрицателна координата

x

, а точите надясно имат положителна координата

x

. По същия начин, точките под началото на координатната система имат отрицателни координати

y

, а точките над началото на координатната система имат положителни координати

y

Упражнение

Задача 1

Използвай следната координатна система, за да запишеш наредените двойки координати за всяка точка.

Точка	Наредена двойка
$A$ ‍	$($ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍ ; Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍ $)$ ‍
$B$ ‍	$($ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍ ; Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍ $)$ ‍
$C$ ‍	$($ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍ ; Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍ $)$ ‍

За допълнителни упражнения виж Точки в координатната равнина.

Къде ще използваме това?

Ще използваме точки в координатната равнина в почти всяко упражнение от раздела аналитична геометрия. Ето няколко упражнения, за които преговорът на координатната равнина може да е полезен:

Събиране, изваждане и повдигане на квадрат на отрицателни числа

Какво е това и за какво ще го използваме?

Отрицателните числа ни позволяват да представим числово информацията за посоката. Например положителна вертикална промяна означава, че се преместваме нагоре, а отрицателна промяна по вертикала означава, че слизаме надолу. Ще пресмятаме разстояния и наклони между точките в координатната равнина. Точките с отрицателни координати се намират наляво от или под

Упражнение

Задача 2.1

Събери.

- 7 + 4 =

За допълнителни упражнения виж Събиране на отрицателни числа, Изваждане на отрицателни числа или Степени с основа цяло число.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на отрицателните числа ще е полезен:

Разстояние и преместване на точки

Какво е това и за какво ще го използваме?

Разстоянието показва колко далеч са една от друга две точки и то винаги е неотрицателно. Преместването е количеството на промяната при преместване от една точка в друга, като то включва и разстоянието, и посоката на промяната.

Често разбиваме разстоянието и преместването на техните хоризонтални и вертикални части. Когато разглеждаме само една посока на промяна (само хоризонтална или само вертикална), тогава разстоянието е абсолютната стойност на преместването.

Използваме преместването, за да изчисляваме наклон, а хоризонталното и вертикалното разстояние между две точки използваме за изчисляване на общото разстояние между тях (с малко помощ от питагоровата теорема).

Упражнение

Задача 3.1

Попълни в таблицата разстоянията и преместванията от точка $A$ ‍ до точка $B$ ‍.

	Преместване	Разстояние
Хоризонтално	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍
Вертикално	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍

За допълнителни упражнения виж Разстояние между точки: вертикално и хоризонтално.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на разстояние и преместване ще е полезен.

Опростяване на изрази с корен квадратен

Какво е това и за какво ще го използваме?

В геометрията функцията корен квадратен има за аргумент площта на квадрат и изходната ѝ стойност представлява дължината на страната на този квадрат. Ще използваме изрази с корен квадратен, когато използваме питагоровата теорема за определяне на разстояние. ще използваме тези разстояния за пресмятане на площ и на обиколка на фигури в координатната равнина и за определяне дали една точка лежи върху окръжност.

Упражнение

Задача 4,1

Опрости.
Премахни всички точни квадрати от знака за корен.

\sqrt{180} =

За повече упражнения виж Опростяване на квадратни корени и Опростяване на изрази, съдържащи квадратни корени.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на изразите, съдържащи квадратни корени, ще е полезен.

Мащабиране на пропорционални зависимости

Какво е това и за какво ще го използваме?

Пропорционалните отношения са две величини, чието отношение е постоянно.

Наклонът е един вид пропорционална зависимост, която показва отношението на вертикалното изместване (или промяна) към хоризонталното преместване. Можем да мащабираме преместванията между две точки, за да намерим трета точка между тях, която разделя отсечката на дължини в определено пропорционално отношение.

Упражнение

Задача 5

Двойната числова ос показва, че за приготвянето на

4

ябълкови пая са необходими

7

(кг)

ябълки.

Избери двойната числова ос, която правилно показва килограмите ябълки, необходими за приготвянето на $1$ ‍, $2$ ‍ и $3$ ‍ пая.

За допълнителни упражнения виж Създаване на двойни числови оси.

Къде ще използваме това?

Ето едно упражнение, за което преговорът на мащабирането на пропорционални отношения може да е полезен:

Разделяне на отсечки

Ъглов коефициент / наклон

Какво е това и за какво ще го използваме?

Наклонът е мярка за това колко стръмна е дадена права. Измерваме наклона като

\frac{Δ y}{Δ x}

, което е отношението на вертикалното изместване към хоризонталното изместване.

Можем да използваме наклона на двойка прави, за да докажем, че те са успоредни (или че не са успоредни)! После можем да определим дали можем да използваме всички познати зависимости между ъглите, образувани с участието на успоредни прави. Ако използваме наклона, можем да докажем, че две от страните на триъгълника са перпендикулярни помежду си, а тогава ще можем да използваме тригонометричните отношения, за да свържем мерките на ъглите и дължините на страните.

Упражнение

Задача 6.1

Колко е наклонът на правата, минаваща през точките $(- 4; 2)$ ‍ и $(3; - 3)$ ‍?

За допълнителни упражнения виж Определяне на наклон при дадени две точки от правата, Уравнение на права по дадени ъглов коефициент и ординатата на пресечната точка с оста и Изчисляване на наклона при дадено уравнение на права.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на наклон/ъглов коефициент на права ще е полезен.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.