Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 8

Урок 3: Изчисляване на дължина на дъга (в градуси)

Сложни задачи: Дължина на дъгата 1

Реши четири сложни задачи, в които се иска да намериш дължината на дъгата, без да ти е дадена точно мярката на ъгъла.

Задача 1

На чертежа по-долу

\overset{―}{D B}

\overset{―}{A C}

са диаметри на окръжността

P

. Дължината на

\overset{―}{P B}

8

единици.

Каква е дължината на $\overset{⌢}{D C}$ ‍?

Опитваме се да намерим тази част от дължината на окръжност

P

, която започва от точка

D

и завършва в точка

C

Нека първо изчислим пълната дължина на окръжността и след това да намерим пропорционално дължината на дъгата въз основа на градусите в мярката на дъгата.

Знаем, че окръжност

P

има радиус от

8

единици, защото

\overset{―}{P B}

е радиус.

$\begin{aligned} Дължината & = 2 π r \\ = 2 π (8) \\ = 16 π \end{aligned}$ ‍

Мярката на дъгата е равна на мярката на централния ъгъл, който я отсича.

Тъй като

\overset{―}{C A}

е диаметър,

∠ C P D

∠ D P A

са допълващи се.

$m ∠ C P D + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ ‍

Мярката на дъгата

\overset{⌢}{D C}

120^{\circ}

Накрая можем да съставим отношение, за да намерим частта от дължината, отсечена от този ъгъл.

$\begin{aligned} \frac{дължината на дъгата}{дължината на окръжността} & = \frac{мярката на дъгата}{градусите в една окръжност} \\ \frac{дължината на дъгата}{16 π} & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\ дължината на дъгата & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = \frac{16}{3} π \end{aligned}$ ‍

Дължината на

\overset{⌢}{D C}

\frac{16}{3} π

Задача 2

На фигурата по-долу радиусът на окръжност

P

6

единици.

Каква е дължината на $\overset{⌢}{A B C}$ ‍?
Въведи или точен отговор по отношение на $π$ ‍, или използвай $3, 14$ ‍ за $π$ ‍ и въведи отговора като десетична дроб.

Опитваме се да намерим тази част от дължината на окръжност

P

, която започва от точка

A

, минава през точка

B

и завършва в точка

C

Знаем, че окръжност

P

има радиус от

6

единици, защото

\overset{―}{C P}

е радиус.

$\begin{aligned} Дължината & = 2 π r \\ = 2 π (6) \\ = 12 π \end{aligned}$ ‍

Мярката на дадена дъга е равна на мярката на централния ъгъл, който я отсича.

Мерките на

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{B C}

се допълват до мярката на

\overset{⌢}{A B C}

$111^{\circ} + 129^{\circ} = 240^{\circ}$ ‍

Накрая можем да съставим отношение, за да намерим частта от дължината, отсечена от този ъгъл.

$\begin{aligned} \frac{дължината на дъгата}{дължината на окръжността} & = \frac{мярката на дъгата}{градусите в една окръжност} \\ \frac{дължината на дъгата}{12 π} & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \\ дължината на дъгата & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 12 π \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Дължината на

\overset{⌢}{A B C}

8 π

Задача 3

На фигурата по-долу

\overset{―}{B C}

е диаметър на окръжността

P

. Дължината на

\overset{―}{B P}

3

единици.

Каква е дължината на $\overset{⌢}{A C D}$ ‍?
Или въведи точен отговор по отношение на $π$ ‍, или въведи отговора си като десетично число, закръглено до най-близкото цяло.

Опитваме се да намерим частта от дължината на окръжност

P

, която започва от точка

A

, минава през точка

C

и завършва в точка

D

Знаем, че окръжност

P

има радиус от

3

единици, защото

\overset{―}{B P}

е радиус.

$\begin{aligned} Дължината & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}$ ‍

От чертежа виждаме, че ни трябва цялата окръжност с изключение на дъгата

35^{\circ}

$360^{\circ} - 35^{\circ} = 325^{\circ}$ ‍

Мярката на

\overset{⌢}{A C D}

325^{\circ}

Накрая можем да съставим отношение, за да намерим частта от дължината, отсечена от този ъгъл.

$\begin{aligned} \frac{дължината на дъгата}{дължината на окръжността} & = \frac{мярката на дъгата}{градусите в една окръжност} \\ \frac{дължината на дъгата}{6 π} & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \\ дължината на дъгата & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 6 π \\ = \frac{65}{12} π \end{aligned}$ ‍

Дължината на

\overset{⌢}{A C D}

\frac{65}{12} π

Задача 4

На фигурата по-долу

∠ A P B ≅ ∠ B P C

. Дължината на

\overset{―}{P B}

4

единици.

Каква е дължината на $\overset{⌢}{B C}$ ‍ от окръжност $P$ ‍?
Или въведи точен отговор по отношение на $π$ ‍, или използвай $3, 14$ ‍ за $π$ ‍ и въведи отговора като десетично число, закръглено до най-близката стотна.

Опитваме се да намерим дължината на тази част от обиколката на окръжност

P

, която започва от точка

B

и завършва в точка

C

Знаем, че окръжност

P

има радиус от

4

единици, защото

\overset{―}{P B}

е радиус.

$\begin{aligned} Дължината & = 2 π r \\ = 2 π (4) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Мярката на дъгата е равна на мярката на централния ъгъл, който я отсича.

Сборът на централните ъгли във всяка една окръжност е

360^{\circ}

. Знаем, че

∠ A P B

∠ B P C

са еднакви.

$\begin{array}{r} m ∠ A P B + m ∠ B P C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ 2 (m ∠ B P C) + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ m ∠ B P C = 104^{\circ} \end{array}$ ‍

Мярката на

∠ B P C

104^{\circ}

. По същия начин мярката на дъгата

\overset{⌢}{B C}

104^{\circ}

Накрая можем да съставим отношение, за да намерим частта от дължината, отсечена от този ъгъл.

$\begin{aligned} \frac{дължината на дъгата}{дължината на окръжността} & = \frac{мярката на дъгата}{градусите в една окръжност} \\ \frac{дължината на дъгата}{8 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ дължината на дъгата & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 8 π \\ = \frac{104}{45} π \end{aligned}$ ‍

Дължината на

\overset{⌢}{B C}

\frac{104}{45} π

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.