Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 4

Урок 2: Въведение в подобие на триъгълници

Първи признак за подобие на триъгълници (два съответно равни ъгъла)

Използвай хомотетия и изометрични трансформации, за да покажеш защо двойка триъгълници с поне две двойки равни съответни ъгли трябва да са подобни.

Какво означава два триъгълника да са подобни?

Определение 1

Какво означава подобие в геометрията?

(Избор А)
Ако всички двойки съответни ъгли в две фигури са равни, тогава фигурите са подобни.
(Избор Б)
Ако всички двойки съответни страни в две фигури са пропорционални, тогава фигурите са подобни.
(Избор В)
Ако можем да изобразим една фигура в друга с помощта на поредица от изометрични трансформации, тогава фигурите са подобни.
(Избор Г)
Ако можем да изобразим една фигура в друга с помощта на поредица от изометрични трансформации и хомотетии, тогава фигурите са подобни.

Доказване, че два триъгълника са подобни

Като използваме свойствата на транслацията, ротацията и осевата симетрия, можем да докажем, че два триъгълника са еднакви ако знаем само някои от техните размери. Каква информация ни е необходима, за да докажем, че два триъгълника са подобни?

Две двойки съответни ъгли и две двойки съответни страни?

Как можем да докажем, че $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ е еднакъв на $△ D E F$ ‍?

(Избор А)
Трети признак за еднаквост на триъгълници (всички двойки съответни страни)
(Избор Б)
Втори признак за еднаквост на триъгълници (по две двойки съответни ъгли и страна, заключена между тях)
(Избор В)
Първи признак за еднаквост на триъгълници (две двойки съответно равни страни и ъгъл заключен между тях)
(Избор Г)
Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници

Какъв вид трансформация изобразява $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ в $△ D E F$ ‍?

△ A^{'} B^{'} C^{'}

е еднакъв на

△ D E F

, така че можем да изобразим

△ A^{'} B^{'} C^{'}

△ D E F

с помощта само на

Извърши поредица от трансформации, за да докажеш, че $△ A B C$ ‍ е подобен на $△ D E F$ ‍.

△ D E F

е образ на

△ A B C

след:

Хомотетия с мащабиращ коефициент
и център точка $P$ ‍.
Транслация спрямо насочена отсечка
.
Ротация спрямо точка
by $m ∠ C^{″} E F$ ‍.
Осева симетрия спрямо ос
.

Знаем, че

A B = 5

B C = 9

, но не знаем дължината на третата страна. Но всеки триъгълник, който има две страни със същите дължини и същия ъгъл, заключен между тях, с мярка

m ∠ B

трябва да е еднакъв на

△ A B C

по първи признак за еднаквост на триъгълници. Така че съществува само една възможна дължина на страната

A C

Така е възможна само една единствена дължина

0, 5 (A C)

. Следователно

A^{'} C^{'}

трябва да е равна на

F D

Докъде можем да стигнем?

Въз основа на горната трансформация, можем да сме сигурни, че двата триъгълника са подобни, ако

2

двойки съответни ъгли са равни и

2

двойки съответни страни са пропорционални. Можем ли да докажем подобието на триъгълниците с по-малко информация? Колко по-малко?

Две двойки съответни ъгли и една двойка съответни страни?

Довърши доказателството, че $△ G H I$ ‍ е подобен на $△ J K L$ ‍.

$△ G^{'} H^{'} I^{'}$ ‍ е образ на $△ G H I$ ‍ след хомотетия с коефициент на хомотетия
.
Можем с помощта на изометрични трансформации да изобразим $△ G^{'} H^{'} I^{'}$ ‍ в $△ J K L$ ‍, защото $△ G^{'} H^{'} I^{'} ≅ △ J K L$ ‍ съгласно
за еднаквост.
Можем да изобразим $△ G H I$ ‍ в $△ J K L$ ‍ чрез поредица от изометрични трансформации и хомотетии, следователно $△ G H I \sim △ J K L$ ‍.

Само две двойки съответни ъгли?

Довърши доказателството, че $△ M N O$ ‍ е подобен на $△ P Q R$ ‍.

	Твърдение	Обосновка
1	$∠ M ≅ ∠ P$ ‍ and $∠ N ≅ ∠ Q$ ‍	Дадено
2	Хомотетия на $△ M N O$ ‍ с коефициент на хомотетия .
3	$∠ M^{'} ≅ ∠ M$ ‍ and $∠ N^{'} ≅ ∠ N$ ‍	При хомотетия се запазват мерките на ъглите.
4	$∠ M^{'} ≅ ∠ P$ ‍ and $∠ N^{'} ≅ ∠ Q$ ‍	Транзитивно свойство на еднаквостта
5	$M^{'} N^{'} =$ ‍	Дефинирахме хомотетията по този начин.
6	$△ M^{'} N^{'} O^{'} ≅ △ P Q R$ ‍	Втори признак за еднаквост (ъгъл-страна-ъгъл)
7	Съществува поредица от изометрични трансформации, които изобразяват $△ M^{'} N^{'} O^{'}$ ‍ в $△ P Q R$ ‍.	Определение за
8	$△ M N O \sim △ P Q R$ ‍	Съществува поредица от изометрични трансформации и хомотетии, които изобразяват $△ M N O$ ‍ в $△ P Q R$ ‍.

Да! Можем да докажем, че два триъгълника са подобни, дори да знаем само, че две двойки съответни страни са равни.

Да се задълбочим още малко

Ето няколко въпроса, върху които да помислиш. Моля, сподели отговорите си в коментарите.

Как можеш да докажеш първи признак за подобие на триъгълници (две двойки съответно равни ъгли) като използваш втори обобщен признак за еднаквост на триъгълници (две двойки ъгли и една двойка страни) вместо втори признак за еднаквост (две двойки ъгли и една двойка страни, заключени между тях)?
Каква е разликата между трети признак за подобие и трети признак за еднаквост на триъгълници?
Съществува ли признак за еднаквост на четириъгълници, който използва само мерките на ъглите?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.