Термини в стереометрията

Научи имената на най-често срещаните тела, елементите на телата и как описваме напречните сечения.

Видове тримерни тела

Призми и подобни на призми тела

Призма наричаме двойка еднакви многоъгълници в успоредни равнини и множеството от всички точки между тях.

Ще използваме определението подобно на призма тяло за всяко тяло, което е подобно на призма, чиято основа е произволна двумерна фигура. Най-често срещаното подобно на призма тяло е цилиндър.

Друг начин да разглеждаме призмите и подобните на призми тела е като множество транслации на основата. Всяко напречно сечение на една призма, което е успоредно на нейната основа, има същата по размер площ.

Горната страна на правоъгълната призма е точно над долната ѝ страна. Векторът на транслация е перпендикулярен на основите.

Векторът на транслация на една наклонена призма не е перпендикулярен на основата.

Пирамиди и подобни на пирамиди тела

Пирамидата представлява многоъгълник, връх в различна равнина от тази на многоъгълника, и множеството от всички точки между тях.

Ще използваме определението подобно на пирамида тяло за всяко тяло, което е подобно на пирамида, чиято основа е произволна двумерна фигура. Най-често срещаното подобно на призма тяло е конус.

Друг начин да разглеждаме пирамидите и подобните на пирамида тела е като образи на основата при хомотетия с център върха на тялото и коефициент на хомотетия от

0

до

1

Върхът на една правилна пирамида се намира точно над центъра на основата ѝ.

Върхът на наклонената пирамида може да се намира на всяко друго произволно място.

Други често срещани тела

Многостенът е тяло, всички стени на което са многоъгълници. Призмите и пирамидите са частни случаи на многостен.

Сфера е тяло, за което всяка точка от неговата повърхнина е равноотдалечена от неговия център.

Елементи на тримерните тела

Има много полезни понятия, свързани с многостените, но доста по-малко са понятията, свързани с елементите на тримерни тела с извити повърхнини.

За да можем да разсъждаваме, ще използваме понятията, свързани с многостените, при другите тримерни тела.

Термин	Значение при многостен	При тела с извити повърхнини означава:
Стена	Плоска повърхност	Непрекъсната повърхност
Ръб	Отсечка при пресичането на две стени	Отсечка или крива при пресичането на две повърхности
Връх	Точка на пресичане на два или повече ръбове	Точка, която е срещулежаща или най-отдалечена от основата на тялото (наричана на английски още apex)

Това е чудесно напомняне, че значението на всяко понятие зависи от контекста. Например формулата на Ойлер

върхове + стени - ръбове = 2

се отнася само за многостени и ние използваме значенията на понятията в многостен. Понятията се адаптират и придобиват ново значение в зависимост от необходимостта.

Напречни сечения

Пресичането на равнина и тримерно тяло се нарича напречно сечение. Всяко напречно сечение е двумерна фигура, която можем да получим при "разрязване" на тримерно тяло с равнина.

Ориентация на равнината	Примерна фигура и равнини	Напречни сечения
Успоредно на основата
Перпендикулярно на основата
Диагонално

Можем да се опитаме да определим дали една равнина е перпендикулярна, или е успоредна на основата на дадена фигура (или нито едно от двете), когато разгледаме напречното сечение. В някои учебници, ако не е посочено направлението на равнината, се има предвид по подразбиране, че тя е успоредна на основата. В други учебници обаче равнината по подразбиране е с произволна ориентация. Така че задължително провери кой от двата случая се използва в твоя учебник и от твоя преподавател.

Тяло, пресечено през	В сечението се получава
Плоска стена	Прав ръб
Извита стена	Извит ръб (обикновено)*
Успоредни стени	Успоредни ръбове
Ръб	Връх
Връх	Връх

*Съществуват някои изключения, когато при преминаването на равнина през извита повърхност може да се получи прав ръб. Ето две от най-често срещаните изключения:

Пресичане на прав цилиндър перпендикулярно на основата му създава прави ръбове.
Пресичане на конус през неговия връх създава прави ръбове.

Задача 1.1

Следното множество от напречни сечения съдържа сеченията на разположени на еднакво разстояние равнини, които са успоредни на основата на тялото.

На кой вид тримерни тела биха могли да принадлежат тези напречни сечения?

(Избор А)
Правилна триъгълна пирамида
(Избор Б)
Наклонена триъгълна пирамида
(Избор В)
Правилна триъгълна призма
(Избор Г)
Наклонена триъгълна призма
(Избор Д)
Прав кръгов конус

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.