Подготовка за изучаване на конични сечения

Да си припомним някои понятия, които ще са ни полезни в раздела "Конични сечения" в курса "Гимназиална геометрия". Тук ще дадем обобщение на всички понятия, заедно с примери, връзки към упражнения и информация защо съответното понятие е нужно в предстоящите уроци.

Тази статия включва само понятия, които са изучавани в предишните курсове. Има и понятия, които се изучават в настоящия курс и са важни за осмисляне на правоъгълните триъгълници и тригонометрията. Ако все още не си овладял/а уроците за определяне на разстояние и средна точка, ти препоръчваме да го преговориш, преди да продължиш напред с раздела.

Окръжността представлява множеството от всички точки, които са на определено разстояние от нейния център. Използваме термина радиус едновременно за дължината на разстоянието (число) и за произволна отсечка (геометрична фигура), чието начало лежи в центъра на окръжността, а краят ѝ лежи на окръжността.

По същият начин терминът диаметър може да означава или най-дългото разстояние между две точки от окръжността, което е равно на $2$‍ пъти по радиуса, или всяка отсечка, която минава през центъра на окръжността, а крайните ѝ точки лежат върху самата окръжност.

За допълнителни упражнения виж Радиус и диаметър.

Ще използваме тези термини в настоящия раздел. Ето първото упражнение, в което преговорът на термините радиус и диаметър ще бъде от полза:

Питагоровата теорема гласи: $a^2+b^2=c^2$‍, където $a$‍ и $b$‍ са дължините на катетите на правоъгълния триъгълник, а $c$‍ е дължината на неговата хипотенуза. Теоремата позволява да изчислим разстоянието между две произволни точки, ако знаем хоризонталното и вертикалното разстояние между тях. С помощта на питагоровата теорема можем да пресмятаме дължината на радиуса на окръжност, да извеждаме уравнението на окръжност и да извеждаме уравнението на парабола.

За повече упражнения виж Изчисляване на дължина на страна в правоъгълен триъгълник с питагоровата теорема.

Ето няколко упражнения, за които преговорът на питагоровата теорема ще е полезен:

Можем да използваме следната формула за съкратено умножение:

Можем да допълним до точен квадрат, когато имаме уравнение от вида $x^2+2bx=c$‍, като пресмятаме $b^2$‍, за да го прибавим към двете страни на равенството. Тогава в лявата страна на уравнението получаваме точен квадрат.

След преобразуването на уравнението на окръжност с допълване до точен квадрат то отново добива вида на питагоровата теорема, така че можем да пресметнем координатите на центъра на окръжността и нейния радиус.

За допълнителни упражнения виж Допълване до точен квадрат (въведение), Допълване до точен квадрат (втора част) и Допълване до точен квадрат.

Ето няколко упражнения, за които преговорът на допълване до точен квадрат ще е полезен: