Решен пример: определяне на площ, оградена от кардиоида

Кривата в тъмносин цвят е графиката на функцията r = 1 – cos(θ), като работим с полярни координати. Интересно ми е дали можем да намерим площта, оградена от тази крива. Насърчавам те да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Сега да го направим заедно. Вече видяхме каква е логиката на формулата, че площ, оградена от крива в полярни координати, ще бъде равна на 1/2 от определения интеграл от началния ъгъл тита до крайния ъгъл тита, от алфа до бета, от (r(θ))^2).dθ. Сега просто трябва да я приложим към тази функция ето тук. В този случай площта ще бъде равна на 1/2 от определения интеграл. Кои са тук алфа и бета? Започваме от θ = 0 радиана, и изминаваме целия път до... Когато тита е равна на 0 радиан, това е 1 – 1, тогава сме тук. И после се придвижваме до тита е равно на 2π радиана. Обърни внимание, че когато сме при 2π, косинус от 2π е 1, 1 – 1 е равно на нула отново. Връщаме се в тази точка. Значи се движим от θ = 0 радиани до θ = 2π радиана. Колко е r(θ)^2? Може би трябва да използвам различни цветове. r(θ)^2 Това е равно на (1 – cos(θ))^2. И, разбира се, имаме dθ. Сега само трябва да изчислим този интеграл. Пак напомням – във всеки момент, когато почувстваш вдъхновение, опитай да решиш това самостоятелно. Сега да го направим заедно. Аз бих направил следното... Значи това е равно на 1/2 по определен интеграл от 0 до 2π. Сега ще го разложа. Това е равно на 1 – 2cos(θ) плюс (cos(θ))^2, dθ. Знаем как да намерим примитивната функция на 1, знаем как да намерим примитивната функция на минус косинус от тита, но квадрата на косинус тита, това е малко сложно... Не ти хрумва веднага как може да стане, да използваме интегриране чрез заместване или нещо такова, но за наш късмет имаме тригонометричните тъждества. Знаем, че квадратът на косинус тита е равен на 1/2 (1 + cos(2θ)). Това се учи в тригонометрията. Ако не сте го учили, го научаваш в този момент. Това е едно от най-полезните тригонометрични тъждества, когато трябва да намериш примитивната функция на нещо или когато интегрираш. Да го направим. Да препишем това тук като 1/2 (1 + cos(2θ)). Да видим, може би ще можем... Ще го направя ето така. Предполагам, че ако искаме... Добре, ще го направя така. Това е равно на 1/2 и после ще... 1/2, нека да започнем с определянето на примитивната функция. 1/2. Примитивната функция на 1 спрямо тита е равна на тита. Примитивната функция на –2cos(θ) е... това е равно на –2sin(θ). Можеш да намериш производната, производната на синус е косинус, и –2, просто ще ги умножа по производната на sin(θ), значи –2cos(θ). После получаваме... Ще разкрия скобите. Това е равно на 1/2 + 1/2cos(2θ). Да го приемем по този начин. Примитивната функция на 1/2. Сега ще разгледам това тук. Това е (1/2)θ. Примитивната функция на (1/2)cos(2θ), да видим... Производната на sin(2θ) е 2cos(2θ). Значи примитивната функция на това е... Примитивната функция на косинус от 2θ, тук можеш да интегрираш със заместване, ако искаш, но може да успееш да го направиш и наум, примитивната функция на косинус от 2θ е 1/2 синус от 2θ. И после остана това 1/2 тук. Това ще бъде... Нека да ти покажа как намирам примитивната функция на това ето тук, от това, и това ето тук. Значи това ще стане +1/4 синус от 2θ. Препоръчвам ти да намериш производната, ако последното те обърква. Производната на синус от 2θ е 2 по косинус от 2θ. 2 върху 1/4 е равно на 1/2. Получаваме 1/2 косинус от 2θ. И сега ще го сметнем за 2π и за 0. Докато го смяташ, може да ти хрумне, че когато го смяташ за нула, цялото това нещо тук, всеки член тук просто ще бъде нула, което много добре се опростява. Просто имаме 1/2 от това, сметнато за 2π. Това е равно на 1/2 по 2π, после синус от 2π е нула, така че това тук е нула. След това 1/2 по 2π става плюс π. После синус от 2π по 2 е синус от 4π, това също е нула. Значи и това е нула, и сме почти готови. Това е равно на 1/2 по 3π, или 3/2 по π е площта на тази област тук, оградена от графиката на функцията.