Решен пример: дължина на дъга (за напреднали)

Това е графиката на функцията у = (х^3)/6 + 1/2х. В това видео искам да намерим дължината на кривата между х = 1 и х = 2. Вече съм я оцветил тази част в този цикламен цвят. Препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Ще ти дам една подсказка. Да предположим, че ще използваш формулата за дължина на крива правилно, трябва ти само малко алгебра, за да намериш дължината на кривата. Предполагам, че опита. Сега да го направим заедно. Преди няколко урока направих обяснение на формулата за дължина на крива. Дължината на кривата е равна на интеграл от долната граница на х до горната граница на х, и това е дължината на кривата, ако работим по отношение на х, но можем да работим и с други променливи. Значи това ще бъде 1 + (f'(х))^2 dx. За тази конкретна функция f(х) трябва да намерим колко е f'(х), да го повдигнем на квадрат и да прибавим 1, а после да намерим квадратен корен от този израз. Да направим всичко стъпка по стъпка. Колко ще бъде f'(х)? Да видим, х^3, производната на това е 3х^2. Това е 3х^2 върху 6, 3/6 е равно на 1/2, или получихме х^2 върху 2, а това е 1/2 по х на степен –1, можем да го представим и така. Това ще стане –(1/2)х на степен –2. –1/2 по х на степен –2. Колко е f'(х) на квадрат? Това ще бъде... всъщност ще го напиша като 1 + f'(х) на квадрат. Това ще бъде... 1 + f'(х) на квадрат, ще бъде равно на 1 плюс това нещо на квадрат. Този член тук на квадрат е равен на (х^4)/4. Произведението на тези два члена ще е отрицателно. х на квадрат по х на минус втора степен е равно на 1. Така че получаваме –1/2. Просто умножихме тези два члена, а после умножихме по 2, и получихме –1/2. И после този член ето тук на втора степен ще бъде +1/4 х на степен –4. 1/4 х на степен –4. Сега имаме 1 и –1/2, можем малко да опростим. Това тук ще е равно на х^4 върху 4. 1 минус 1/2 е равно на +1/2, плюс 1/4 плюс 1/4 х на степен –4. Искам да го направя малко по-ясно. х на степен –1/4. Това изглежда малко странно. И ще трябва да го коренуваме. Но може би можем да го представим като произведение от точни квадрати, защото изглежда, че знаем, че х на четвърта, и да видим дали можем да го представим така, че да разпознаем как можем да го разложим. Да изнесем пред сокби 1/4 х на степен –4. Това ще бъде равно на 1/4 х на степен –4, изнасяме пред скоби това, така че изнасяме 1/4 по х на степен –4. Ще използвам различни цветове. Първият член, когато го изнеса пред скоби, ще стане х на осма степен. Този член тук, когато изнеса 1/4, ще стане равен на 2 по х на четвърта. Този член тук, пак повтарям, използваме знанията си по алгебра. Значи плюс 2х^4, и сега това тук вече е лесно. Това е равно на 1. Значи плюс 1. Това изглежда интересно. Защото това тук, това точно тук, можем да препишем като 1/2 х на –2 на квадрат. Това е равно, същият цвят, 1/2 х на степен –2 на квадрат. Това тук можем да представим като х^4 плюс, ще го запиша така, това е х^4 плюс 1 на квадрат. х^4 по х^4 е равно на х^8. Едно на квадрат е едно. Това по това, по две, дава 2х^4. Това тук е същото като това. И сега можем да коренуваме и двете страни. Ако искаме, можем да кажем квадратен корен от 1' плюс x^2. Забележи, че се фокусирам върху алгебричните преобразувания. Досега сме направили 1 +( f'(х))^2. Сега искаме да намерим квадратен корен от това. Значи квадратен корен от това. Това ще бъде равно на квадратен корен от това, само да спазя цветовете, това ще бъде 1/2 х на степен –2, по х^4 + 1. Правилно го направих, нали? И сега, след като направих всичко това, мога да приведа това във вид, в който практически, можем да разкрием скобите. Това ще бъде равно на 1/2, х на степен –2 по х^4 е х^2. 1/2 х^2 + 1/2 х^(–2). И ако искаме да намерим... Ще препиша това. Това е 1 + (f'(х))^2. Сега да видим определения интеграл. Трябва ми място, за да напиша dх. Имаме определен интеграл, в този случай от х = 1 до х = 2. Това е определен интеграл от х = 1 до х = 2 от това dx. Това е определен интеграл от този израз от х = 1 до х = 2, dx. Това е много лесно. Коя е примитивната функция на 1/2 х^2? Това ще бъде 1, да видим, х^3 и после делим на 3. 1/2 делено на 3 е 1/6. 1/6 х^3. После това ще бъде... ще увеличим степенния показател, това ще бъде х на степен –1. Делим на това, така че става –1/2 х^(–1). Вярно ли е това? Вярно ли го сметнах? Да, минус първа степен, когато я намалим, става минус втора, и това тук също изглежда вярно. И сме почти на финала. Ще сметнем това за 2 и за 1. Когато го сметнем за 2, 2 на трета степен е 8 върху 6, минус 1/2 по 1/2. Значи това е –1/4. Когато го сметнем за 1, ще поставя знак минус, защото вадим това, което изчисляваме за х = 1. получаваме 1/6 минус 1/2. И сега трябва само да сметнем тези дроби. Това ще стане, да видим... Ако разделим, това е 4/3 минус 1/4 минус 1/6 и накрая плюс 1/2. Сега да видим общия знаменател, той ще бъде 12. Тези 4/3 ще станат 16/12. Умножаваме числителя и знаменателя по 4. Минус 1/4, същият начин, получаваме 3/12. Сега това е минус 2/12. После имаме 6/12. И това е равно на, мисля, че заслужаваме фанфари в този момент. 16 минус 3 е 13, минус 2 е 11, плюс 6 е 17. И го получихме. Дължината на тази крива от графиката на функцията между х = 1 и х = 2. Тази дължина тук е равна на 17/12. И сме готови!