Решен пример: област между криви

В това видео с помощта на знанията ни по математически анализ ще намерим площта на тази жълта област, и ако в някакъв момент се вдъхновиш, ти препоръчвам да спреш видеото и да работиш самостоятелно. Ключовото тук е да разпознаеш, че това е площ между криви. Определен интеграл вероятно ще помогне, затова ще сложа знак за определен интеграл, и така първо ще разгледаме какви са лявата и дясната граница на тази област. Изглежда лявата граница е при пресичането на двете криви, а дясната граница е там, където се пресичат ето тук. Каква е тази пресечна точка? Изглежда като (–1; –2). Ще проверя това. На червената крива, ако х = –1, да видим, това на квадрат, става 1 минус 3. Значи у = –2. За синята функция имаме х е равно на –1 на четвърта степен, значи 1 минус 4 плюс 1. Отново получаваме у = –2. когато х = 1 имаме 1 минус 3, –2. Едно минус 4 плюс 1 е –2. Значи нашите граници са от х = –1 до х = +1. Сега да видим горната и долната граница. В интервала тази синя графика е нашата горна граница, така че ще извадим долната граница от горната граница, така че имаме х^4 – 4х^2 + 1, от което ще извадим х^2 – 3, dх. В доста други видеа обяснявах защо правим това, каква е логиката да извадим долната крива от горната крива, когато търсим площта между тях, а сега искам само да сметнем този определен интеграл. Така че да се захващаме за работа. Значи имаме интеграл от –1 до 1, имаме х^4, после имаме минус 4х^2, и после, когато разкрием скобите, заради този отрицателен знак трябва да извадим още едно х^2, така че стават –5х^2, а после имаме плюс 1. После ще извадим –3, което става 1 + 3, става +4, dх. Искам да кажа, че тук трябва да има скоби, защото реално dх се умножава по целия израз. И сега да намерим примитивната функция на това. Това е много лесно. Просто прилагаме наобратно правилото за производна от степен, няколко пъти, така че тук примитивната функция на х^4 е х^5/5. Увеличаваме степенния показател и делим на увеличения степенен показател, минус, тук правим същото, 5х^3/3 плюс 4х и накрая ще го изчислим за едно и после ще извадим от това изчисленото за –1. Първо да заместим с 1. Получаваме 1/5 минус 5/3 плюс 4. Сега да го сметнем за –1. Значи минус, да видим, ако това е –1, получаваме –1/5, а това ще бъде + 5/3, и после това ще стане –4, но когато разкрием скобите, ще сменим знаците на всички тези членове, затова тук ще получим, ако това е положително, това е положително, това ще е отрицателно. Това после ще е положително, значи става 1/5 плюс 1/5, което е 2/5, това и това, после минус 5/3 минус 5/3, значи минус 10/3, и накрая 4 плюс 4, значи плюс 8. Само трябва да го опростим. Това ще бъде, да видим, ще бъде 8, после ако напиша, значи плюс... Ще представя тези със знаменател 15, защото това е общият знаменател за 3 и 5. Значи 2/5 е 6/15, да, точно така, 5 по 3 е 15. 2 по 3 е 6. 10/3, да видим, ако умножим знаменателя по 5, умножаваме числителя по 5, значи това ще стане 50/15. Колко е 6/15 минус 50/15? Това е равно на... 8 минус, 6 минус 50 е 44, равно е на –44/15. Колко е 44/15? 44/15 е равно на 2 и 14/15. Това е, което изваждаме. Ще извадим 2 и 14/15, ако извадим 2 от това 8, ще получим 6, минус 14 върху 15, защото вадим 14/15. И после 6 минус 14/15 е равно на 5 и 1/15. Ето така намерихме тази площ ето тук.