Намиране на обем чрез напречни сечения: квадрати и правоъгълници (без графика)

Основата на едно тяло е област, оградена от графиката на у = –х^2 + 6х –1 и графиката на у = 4. Напречните сечения на тялото, перпендикулярно на оста х, са правоъгълници с височина х. Изрази обема на тялото с определен интеграл. Спри на пауза видеото, за да опиташ самостоятелно. Добре, интересното тук е, че ни дават само функциите на графиките, но нямаме визуализация. Трябва да ги начертаем, или поне аз предпочитам да ги начертая, за да разсъждавам за тази област, която имат предвид. Може би първото нещо, което да направим, е да помислим къде се пресичат тези криви? Кога имаме една и съща стойност за у за двете функции? Друг начин да разсъждаваме е: Кога това е равно на 4? Ако ги направим равни една на друга, става –х^2 + 6х – 1 = 4. Това ни дава х-стойностите, където те се пресичат. За да намерим х, можем да извадим 4 от двете страни. –х^2 + 6х – 5 = 0. Можем да умножим двете страни по –1. Получаваме х^2 – 6х + 5 = 0. И сега това е много лесно за решаване. 1 по 5 е 5, По-точно –1 по –5 е 5. –1 плюс –5 е –6. Значи става (х – 1)(х – 5) = 0. Това се пресича с оста х, когато х = 1 или х = 5. Тъй като тук имаме знак минус знак минус пред члена от втора степен, знаем, че това е парабола, която е вдлъбната. Знаем, че пресича правата у = 4, когато х = 1 или х = 5. Значи максимумът ще бъде точно между тях, максимумът е при х = 3. Нека да го начертая. Ще изглежда ето така. Ще го начертая в перспектива, защото разглеждаме тримерно тяло. Това е оста у. Това е оста х. Ще поставя някои стойности на у. Това е едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем. Вероятно това е достатъчно. Сега имаме у = 4, което изглежда ето така. Това е у = 4. После имаме у = –х^2 + 6х –1, което пресича у = 4 в х = 1 или х = 5. Да видим, едно, две, три, четири, пет. Значи х = 1, това е тази точка точно ето тук. (1; 4) и после (5; 4). После имаме връх, когато х = 3, значи изглежда горе-долу така. Можем да заместим тук с 3. Да видим, у = –9, три на квадрат, плюс 18 минус 1. Какво ще бъде това? Това става у = 8. Значи точката е (3; 8). Това са пет, шест, седем, осем, ето тук някъде. Значи имаме ситуация, в която нещата изглеждат ето така. Това е търсената област. Това е основата на тялото. Казват ни, че напречните сечения на тялото са перпендикулярни на оста х. Ще начертая тези напречни сечения. Това е сечение, перпендикулярно на оста х, това са правоъгълници, чиято височина е х, значи това тук е височина х. Колко е това тук, можем да го наречем широчина на правоъгълника? Това ще бъде разликата между тези две функции. Ще бъде горната функция минус долната функция. Ето това тук ще бъде –х^2 + 6х – 1 и после минус 4, минус долната функция. Това може да се опрости до –х^2 + 6х – 5. За да намерим обема на тази малка секция ето тук, трябва да умножим това по х, после ще го умножим по безкрайно малката дебелина dх. И после просто ще интегрираме от х = 1 до х = 5. Да го направим. Обемът на този малък резен ето тук, който е основата, която е (–х^2 + 6 – 5), по височината, т.е. по х, по дебелината, т.е. по dх. И искаме да намерим сбора на всички тези сечения. Досещаш се, че тук ще имаме, или пък ето тук, ще имаме напречно сечение, което изглежда ето така. Сега х е много по-голямо. Височината е х, но сега тя изглежда ето така. Правя само две сечения, колкото да добиеш представа. Това са произволни сечения за дадено х, но сега ще интегрираме. Х е от х = 1 до х = 5. Изразихме обема на това тяло като определен интеграл. И това просто означава, че ако за този определен интеграл, ако разкрием скобите и умножим по х, ако умножим х по тези членове, това е лесно за решаване. Може да се реши лесно без калкулатор. Просто имаме полином тук, от който трябва да намерим примитивната функция, за да изчислим определения интеграл.