Обобщение на метода на пръстените

Сега да обобщим какво направихме в предходното видео. Ако това е оста у, а това е... това не е перпендикулярно. Това тук е оста х. Нека да имаме две функции. Ще използвам общия случай. Нека да имаме една функция тук. Нека тя да изглежда така. Това е графиката на едната функция. Това е у = f(х). После да имаме друга функция, у = g(х). Нека графиката ѝ да изглежда ето така. Тази синя крива е у = g(х). И както в предишното видео, искам да намерим обема на тяло, получено при ротацията, получено при ротацията на областта между пресичащите се графики на двете функции, при въртенето им около оста х. Използваме общия случай. Това може да изглежда всякак, но го начертах буквално в същата форма на трюфел. Това е много подобно на трюфел, външността му изглежда като трюфел. А отвътре на това трюфелоподобно тяло сме издълбали един конус. Очевидно този чертеж е много конкретен, както начертах графиките на функциите, но аз искам да обобщим алгебрично. Как ще намерим обема? Можем да си представим дискове. Но вместо да си представяме дискове, сега ще си представим пръстени, което принципно е същото нещо, което направихме в предходното видео с математически средства, но сега ще го обясним малко по-различно. Представи си, че изрязваме малко парченце между графиките на тези две функции. Каква ще бъде широчината на това парченце? Тя ще е равна на dх. Сега да завъртим това нещо около оста х. Ако го завъртим около оста х, ще получим пръстен. Затова този метод се нарича метод на пръстена. Това е подобно на метода с дисковете, където вътрешността разрязваме на дискове. Това е вътрешността на нашия пръстен. Това външната част на пръстена. Външната страна на пръстена изглежда приблизително така. Надявам се, че виждаш логиката. Повърхността на този пръстен ще изглежда приблизително така. Можеше да го нарисувам и по-добре, но се надявам, че ще свърши работа и ще го разбереш. Повърхността на пръстена изглежда ето така. И има дебелина dх. Ще се опитам да я нарисувам – дебелина dх. Това е пръстенът, гледан отстрани. Пръстенът, досещаш се, е един вид изрязана монета. Как да намерим обема му? Отново, ако знаем площта, ако знаем площта на основата на този пръстен, можем да я умножим по дебелината. Това е площта на основата на пръстена. Площта на основата на пръстена... това е областта, която не е изрязана. Колко е тази площ? Тя е равна на π по външния радиус на квадрат, Равна е на π по квадрата на външния радиус. Колко е външният радиус? Радиусът на външната страна на пръстена? Това е f(х). Външният радиус е f(х). И само ще го повдигнем на квадрат. Това е този израз, който ще ни даде площта на цялата основа, ако това не беше пръстен, а беше монета. А сега трябва да извадим вътрешността. Колко е площта на изрязаната част? На тази част ето тук? Това трябва да го извадим. Това е π по квадрата на радиуса на вътрешността. Колко е квадратът на радиуса на вътрешността? Вътрешността, в този случай, е g(х). Тя е равна на π по квадрата на g(х). Това е вътрешната функция, поне в този интервал, който разглеждаме. Площта на този пръстен, можем да оставим израза така, или можем да изнесем пред скоби π. Площта е равна на... ако изнесем π пред скобите, π по квадрата на f(х) минус квадрата на g(х). Тук няма нужда от скоби. Значи f(х)^2 – g(х)^2. За да намерим обема... ще използвам същото жълто, за да намерим обема на този пръстен, просто умножаваме по дебелината на тези пръстенчета. Обемът на всяко пръстенче е равен на π по (f(х)^2 – g(х)^2). Квадратът на външната функция в интервала минус квадрата на вътрешната функция в интервала, после по дебелината. Това е обемът на всяко такова пръстенче. И това ще бъде определено за дадено х в този интервал, за всяко х в този интервал можем да дефинираме нов пръстен. Може да има пръстен тук и пръстен тук. Ще съберем всички тези пръстени, ще вземем границата, когато те стават все по-тънки, а броят на пръстените клони към безкрайност. Ще вземем интеграл в нашия интервал в точките, където графиките на двете функции се пресичат, именно той ни интересува. Не е задължително да е в точките на пресичане, но в този случай ще направим точно това. Нека да е от х = а до х = b. Макар че а и b могат да са тук и тук. Но това е нашият интервал, в който определяме общия случай, от а до b. И това е равно на търсения обем. Това точно тук е равно на обема на всеки пръстен. После събираме обемите на тези пръстенчета и взимаме границата, когато броят им клони към безкрайност. Да видим дали това важи за примера от предходното видео, дали ще получим същия отговор. В предишното видео у = g(х) беше равно на х, и у = f(х) беше равно на квадратен корен от х. Сега да го сметнем, като заместим в получената формула. Нашият обем – ще го сметна тук горе. Обемът е равен на интеграл... между двете точки на пресичане? Тук, отново, можехме да дефинираме и друг интервал, например от тук до тук. Тогава щяхме да имаме друго тяло. Но точките, които ни интересуват, както съм го начертал, са от х = 0 до х = 1. Тук се пресичат графиките на двете функции. Видяхме го в предходното видео. Интеграл от пи по... колко е квадрата на f(х) – квадратен корен от х е просто х, минус квадрата на g(х). g(х) е просто х, на квадрат е х^2. И това умножаваме по dх. Това е равно на... можем да изнесем пи. от 0 до 1, х – х^2, dх, което е равно на пи по... да видим, примитивната функция на х е х^2 / 2. Примитивната функция на х^2 е х^2 върху 3... извинявам се, х^3 върху 3. И ще изчислим това от 0 до 1. Това е равно на... свършва ми мястото. Ще превъртя малко надолу. Това е равно на пи по... ще сметнем това цялото за 1, получаваме, да видим, получаваме 1/2 минус 1/3. И от това ще извадим изчисленото за 0, но то ще е просто 0. о^2 /2 минус 0, 0^3. Всичко това е нула. И когато извадим 0, оставаме само с този израз ето тук. Колко е 1/2 минус 1/3? Това е 1/6. И получаваме, че е равно на пи върху 6, което е същият резултат, който получихме в предходното видео. Това е така, защото направихме същото нещо като тогава. Само разсъждавахме малко по-различно. Обобщихме го за f(х) и g(х). Представихме си един пръстен, за разлика от метода с дисковете за външната част и за вътрешната част, както в предходното видео.