Определен интеграл на тригонометрична функция

Да видим дали можем да изчислим определен интеграл от 11π/2 до 6π, от 9 по синус от х, dx. Нека първо да видим дали може да намерим примитивната функкция (антипроизводната) на 9 по синус от х. Може да използваме някои от нашите свойства на интегрирането, за да опростим интеграла. Това ще бъде равно на следното. Това е същото нещо като 9, умножено по интеграл от 11π/2 до 6π, от синус от х, dx. А на какво е равна антипроизводната от синус от х? От производните знаем, че производна спрямо х от косинус от х, е равно на минус синус от х. Минус синус от х. Можем ли да преработим този израз, така че да е равен на минус синус от х? Какво става, ако умножа под интеграла по минус 1? Не може да умножим просто така само на едно място по –1. Трябва да умножа още веднъж по –1, за да не се променя стойността. Какво ще стане, ако го представим като –9 по минус синус от х? Отново ще се получи 9 по синус от х. Тоест ако имаме минус 9 по минус синус от х, ще се получи 9 по синус от х. Представих го така, защото сега минус синус от х отговаря на производната на косинус от х. Тогава целият израз ще бъде равен на на следното. Имаме минус 9 отпред. Минус 9 отпред, умножено по... Ще запиша останалото в скоби. Минус 9 по примитивната функция на минус синус от х. Това ще бъде равно на косинус от х. Ще изчислим този израз за границите на интеграла. Ще го изчислим за 6π. Нека до го запиша с цвят, който не съм използвал досега. Ще изчислим това за 6π и ще го изчислим също за 11π/2. Това ще бъде равно на минус 9 по следното. Ще си отделя едно пространство тук. Това е повече, отколкото имам нужда. Получава се косинус от 6π. Косинус от 6π минус косинус от 11π/2. На какво е равно косинус от 6π? Косинус от кое да е кратно число на 2π ще бъде равно на 1. Може да разглеждаме 6π като три обиколки на единичната окръжност. Равно е на същото нещо като косинус от 2π, или същото нещо като косинус от 0. Следователно този член е равен на 1. Ако това ти се струва непознато, те насърчавам да преговориш дефиницията на косинус за единичната окръжност. А на какво е равно косинус от 11π/2? Нека да видим. Нека да извадим някакво число, кратно на 2π тук, за да го представим като подходяща стойност. Нека го запишем тук. Косинус от 11π/2 е същото като следното. Нека да видим ако извадим нещо. Това е същото нещо като косинус от 11π/2, или същото като 5 1/2 пъти π. Нали така? Да, ето така може да го представим. Може да извадим от него 4π, като това може да запишем като 8π/2. Всъщност нека да извадим 5... Не, нека да извадим 4π, което е 8π/2. И отново, просто изваждам число, което е кратно на 2π, което не променя стойността на функцията косинус. Тогава това ще бъде равно на косинус от 3π/2. Нека си представим единичната окръжност. Нека начертая единична окръжност ето тук. Това е оста у, а това е оста х. След това имам единичната окръжност. Това е единичната окръжност. Започваме от тук, т.е. това е нулата. Стигаме до π/2, а след това до π. След това стигаме до 3π/2, което е тази точка от единичната окръжност. Косинус има стойност, равна на х координатата, следователно този член е равен на 0. Това е 0 и това е 0. Получаваме 1 минус 0, т.е. целия израз в скобите, е равен на 1. Това е, което остава. Нека направя ето така. Всичко това е равно на 1. Имаме минус 9, умножено по 1, което разбира се, е просто минус 9. На това е равна стойността на определения интеграл.