Определеният интеграл като граница на Риманова сума

Вече разгледахме няколко урока, в които апроксимирахме площ под крива, като разделихме площта на правоъгълници и след това намерихме сумата от лицата на тези правоъгълници, като приближение. Това всъщност беше първият пример, който разгледахме и където всички правоъгълници има една и съща широчина. Следователно разделихме интервала на равни части между двете граници, т.е. между a и b. А височината на един правоъгълник беше функцията, изчислена в лявата крайна точка на всеки правоъгълник. И искахме да обобщим метода като го запишем с означението сигма. Изглеждаше като нещо такова. Това беше един случай. По-късно разгледахме пример, където дефинираме височината чрез стойността на функцията в дясната крайна точка или в средната точка. А след това дори построявахме трапеци. Всички тези задачи са примери за риманови суми. Това ето тук е Риманова сума. Когато хората говорят за риманови суми, имат предвид по-общо понятие. Не е необходимо да го правиш по този начин. Може да използваш трапеци. Дори не е нужно участъците да са с равна широчина. Използвах равни участъци, защото така нещата са малко по-прости като идея. А това тук е портрет на човека, на когото са кръстени римановите суми. Това е Бернхард Риман. Той е допринесъл много за математиката. Но това, с което е най-известен, или поне ако учиш първият курс по анализ, е римановата сума, и как ето това се използва за дефиниране на риманов интеграл. Нютон и Лайбниц и двамата достигат до идеята за интеграл, когато са създавали анализа, но римановият интеграл е най-използваната официална, и дори бих казал строга дефиниция за това какво е интеграл. Както можеш да си представиш, това е пример за риманова сума. Ето тук имаме n брой фигури. Колкото по-голямо число е n, толкова по-точно ще бъде приближението. Неговото определение за интеграл, което е действителната площ под кривата, или определението му за определен интеграл, което е действителната площ под една крива между a и b, е следното: вземаме тази риманова сума – не е задължително да е тази, може да е произволна друга – и да намерим границата, когато n клони към безкрайност. Нека да го изясним. Какво се случва, когато n клони към безкрайност? Нека начертая друг чертеж ето тук. Нека това е оста у. Това е оста х. Това е моята функция. Ако n клони към безкрайност – и това е a, а това b – то просто ще имаме огромно количество правоъгълници. Все едно да построим буквално безброй правоъгълници тук. По този начин ще намерим все по-добро и по-добро приближение за истинската площ. Истинската площ под кривата е означена чрез интеграл от a до b, от f от x, умножено по dx. Сега вече разбираш откъде идва това или как са свързани тези означения. Или поне, както аз си представям, че са свързани. Делта x (dx) е широчината на всеки един от тези участъци. Това ето тук е делта х. Ето това е делта х. Това е друго делта х. А това друго делта х. Подходящ начин за идеята на това, какво е dx, или какво е диференциал, е към какво клони dx, ако стане безкрайно малко число. Може да го изразим като – и това не е строг начин да го разглеждаме – безкрайно малко число. Не е 0, но е безкрайно малко делта х. Ето така можеш да мислиш за него. Отново ще го изкажем. Имаш една функция, умножена по много малко изменение делта х. И сумираш, въпреки че сумираш безкрайно много от тези неща, от a до b. Засега ще спрем дотук, за да може да разбереш връзката. Знаеш как се наричат тези неща. И отново, това ето тук, не е единствената Риманова сума. Всъщност това често е наричано лява риманова сума, ако използваш правоъгълници. Може да съставиш и дясна риманова сума. А може да използваш и средната точка. Или да използваш трапец. Ако намериш обаче границата на всяка една риманова сума, когато n клони към безкрайност, то това, което получаваш, е римановата дефиниция за интеграл. Досега не сме обсъждали как всъщност да се изчисли това. Засега това е само дефиниция. Ще обясним как се прави в бъдещи уроци.