Функции, дефинирани като определени интеграли (функции на натрупване)

Вече прекарахме голяма част от математическата си кариера, занимавайки се с функции. Основната идея, е да въведем вярна входяща стойност в една функция, т.е. стойност, която принадлежи на дефиниционното ѝ множество, и функцията ще ни даде резултата, който съответства на тази зададена стойност. Тази получена стойност наричаме f от х. Например има много начини да дефинираме функция. Може да кажем, че f от х е равно на х на квадрат. Това означава, че за всяка стойност х, която заместим във функцията, ще получим тази стойност на квадрат. Може да имаме дефинирано следното нещо. f от х е равно на х на квадрат, ако х е нечетно число. Ако е четно, то може да кажем, че функцията е равна на х на трета. Ако е нечетно цяло число, просто го повдигаме на квадрат. В противен случай за всяко друго реално число повдигаме на трета степен. Това е валиден начин за дефиниране на функция. В настоящия урок ще изследваме нов начин, или възможен такъв, за дефиниране на функция. И той ще бъде чрез определен интеграл, но основната идея остава същата. Това, което имаме начертано тук са оста t, оста y и графиката на функцията f. Може да я разглеждаме като графиката на у е равно на f от t. Сега искам да направя следното. Това е друг начин за представяне на това какви резултати може да получим при съответни входни данни. Ако t е равно на 1, то f от t е равно на 5. Ако t е равно на 4, то f от t е равно на 3. Сега обаче ще дефинирам нова функция, базирана на определен интеграл от f от t. Нека дефинираме новата функция. Да я наречем g, или g от x. Нека я приравним на определения интеграл от минус 2 до х за f от t, dt. Спри видеото и наистина я разгледай. Може да изглежда наистина странно, но това, което се случва, е, че за дадена входна стойност х g от x ще бъде равна на това, на което ще бъде определения интеграл за същото х. Може да начертаем една малка таблица тук и да помислим върху някакви потенциални стойности. Нека тук да е х, а ето тук е g от х. Ако х равно на 1, то на какво е равно g от х? Добре, g от 1 ще бъде равно на определен интеграл, с долна граница минус 2. В този случай х ще бъде равно на 1. Това е, което поставяме във функцията. Следователно 1 е горната граница на f от t, dt. А на какво е равно това? Това ще бъде площта под кривата и над оста t, в интервала t равно на минус 2 и t равно на 1. Тоест ще бъде ето тази площ тук. Поради това, че се намира върху мрежа, всъщност може да я изчислим. Може да разделим площта на два участъка. Този правоъгълен участък е широк 3 единици и висок 5. Тогава лицето му е равно на 15 квадратни единици. А този малък триъгълен участък тук е широк 2 единици и висок 1. 2 умножено по 1 и по 1/2 е лицето на триъгълника, което е равно на 1. Следователно площта е равна на 16. Какво става обаче, ако х е равно на 2? На какво е равно g от 2? Спри видеото и се опитай да отговориш самостоятелно. g от 2 ще бъде равно на определен интеграл от минус . А сега горната граница ще бъде входящата стойност за функцията, т.е. 2 до 2, f от t, dt. Следователно това ще бъде от тук до тук. Целия този участък до тук. Включва лицето, което току-що изчислихме. Цялото това нещо, което изчислихме, че е равно на 16 квадратни единици. Прибавяме още 1, 2, 3, 4, 5 квадратни единици. 16 плюс 5 ще бъде равно на 21. Надявам се, че това ти е полезно. А ключовото нещо тук, е да разбереш, че може да дефинираш валидна функция като използваш определен интеграл.